Разберёмся, что от нас хотят. Нужно поймать такие a, чтобы среди чисел отрезка [4;\,5] нашёлся хотя бы один x, который проходит сразу через все три неравенства. Главная идея всей задачи: давай из каждого неравенства вытащим ограничение на сам параметр a — тогда для каждого x будет видно, в какую «вилку» обязан попасть a.

Первое неравенство: a(x-1)\ge 4. На отрезке [4;\,5] скобка x-1 лежит в [3;\,4] и всегда положительна, поэтому делить на неё можно без всяких подвохов со знаком: a\ge \dfrac{4}{x-1}. Это нижняя граница для a.

Второе: 2\sqrt{x-2}\ge a, то есть a\le 2\sqrt{x-2}. А это верхняя граница для a.

Третье: 3x3x-14. Ещё одна нижняя граница, только строгая.

Теперь посмотрим, как эти три границы ведут себя на отрезке. Дробь \dfrac{4}{x-1} убывает: при x=4 она равна \dfrac{4}{3}, при x=5 равна 1. Корень 2\sqrt{x-2} растёт: от 2\sqrt{2} до 2\sqrt{3}. Прямая 3x-14 растёт: от -2 до 1. Сравним две нижние границы между собой: на всём отрезке \dfrac{4}{x-1} не меньше, чем 3x-14 (в точке x=5 они обе равны 1, а левее дробь крупнее). Значит, из двух нижних границ главной всегда оказывается \dfrac{4}{x-1} — именно она поджимает a снизу.

А теперь красивый ход. Возьмём правый конец отрезка x=5 и подставим его во все три неравенства. Первое: a\cdot 4\ge 4, то есть a\ge 1. Второе: 2\sqrt{3}\ge a, то есть a\le 2\sqrt{3}. Третье: 151. Собираем всё вместе: a>1 и a\le 2\sqrt{3}, то есть a\in(1;\,2\sqrt{3}]. Получается, что для любого такого a точка x=5 сама является решением системы — а этого нам и достаточно, чтобы честно сказать «решение на отрезке есть».

Осталось доказать вторую половину: что за пределами (1;\,2\sqrt{3}] решений нет вообще ни при каком x из отрезка. Сверху: из второго неравенства a\le 2\sqrt{x-2}\le 2\sqrt{3} (корень на отрезке не превосходит 2\sqrt{3}), поэтому a>2\sqrt{3} невозможно в принципе. Снизу: пусть a\le 1. Из первого неравенства тогда x-1\ge \dfrac{4}{a}\ge 4, значит x\ge 5, то есть годится только x=5 при a=1; но тогда третье неравенство даёт 15<15 — ложь. А нулевые и отрицательные a отпадают сразу: при x-1>0 произведение a(x-1) просто не дотянет до 4. Поэтому обязательно a>1.

Итог: подходят ровно те a, для которых x=5 проходит систему, — это a\in(1;\,2\sqrt{3}]. Всё сходится: верхнюю точку 2\sqrt{3} включаем (там нестрогое \ge во втором неравенстве), а нижнюю точку 1 выкалываем (там строгое < в третьем).