ID: 00022380
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $\begin{cases} a(x-1)\ge 4, \\ 2\sqrt{x-2}\ge a, \\ 3x\lt a+14 \end{cases}$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;\,5]$.
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что от нас хотят. Нужно поймать такие $a$, чтобы среди чисел отрезка $[4;\,5]$ нашёлся хотя бы один $x$, который проходит сразу через все три неравенства. Главная идея всей задачи: давай из каждого неравенства вытащим ограничение на сам параметр $a$ — тогда для каждого $x$ будет видно, в какую «вилку» обязан попасть $a$.
Первое неравенство: $a(x-1)\ge 4$. На отрезке $[4;\,5]$ скобка $x-1$ лежит в $[3;\,4]$ и всегда положительна, поэтому делить на неё можно без всяких подвохов со знаком: $a\ge \dfrac{4}{x-1}$. Это нижняя граница для $a$.
Второе: $2\sqrt{x-2}\ge a$, то есть $a\le 2\sqrt{x-2}$. А это верхняя граница для $a$.
Третье: $3x3x-14$. Ещё одна нижняя граница, только строгая.
Теперь посмотрим, как эти три границы ведут себя на отрезке. Дробь $\dfrac{4}{x-1}$ убывает: при $x=4$ она равна $\dfrac{4}{3}$, при $x=5$ равна $1$. Корень $2\sqrt{x-2}$ растёт: от $2\sqrt{2}$ до $2\sqrt{3}$. Прямая $3x-14$ растёт: от $-2$ до $1$. Сравним две нижние границы между собой: на всём отрезке $\dfrac{4}{x-1}$ не меньше, чем $3x-14$ (в точке $x=5$ они обе равны $1$, а левее дробь крупнее). Значит, из двух нижних границ главной всегда оказывается $\dfrac{4}{x-1}$ — именно она поджимает $a$ снизу.
А теперь красивый ход. Возьмём правый конец отрезка $x=5$ и подставим его во все три неравенства. Первое: $a\cdot 4\ge 4$, то есть $a\ge 1$. Второе: $2\sqrt{3}\ge a$, то есть $a\le 2\sqrt{3}$. Третье: $151$. Собираем всё вместе: $a>1$ и $a\le 2\sqrt{3}$, то есть $a\in(1;\,2\sqrt{3}]$. Получается, что для любого такого $a$ точка $x=5$ сама является решением системы — а этого нам и достаточно, чтобы честно сказать «решение на отрезке есть».
Осталось доказать вторую половину: что за пределами $(1;\,2\sqrt{3}]$ решений нет вообще ни при каком $x$ из отрезка. Сверху: из второго неравенства $a\le 2\sqrt{x-2}\le 2\sqrt{3}$ (корень на отрезке не превосходит $2\sqrt{3}$), поэтому $a>2\sqrt{3}$ невозможно в принципе. Снизу: пусть $a\le 1$. Из первого неравенства тогда $x-1\ge \dfrac{4}{a}\ge 4$, значит $x\ge 5$, то есть годится только $x=5$ при $a=1$; но тогда третье неравенство даёт $15<15$ — ложь. А нулевые и отрицательные $a$ отпадают сразу: при $x-1>0$ произведение $a(x-1)$ просто не дотянет до $4$. Поэтому обязательно $a>1$.
Итог: подходят ровно те $a$, для которых $x=5$ проходит систему, — это $a\in(1;\,2\sqrt{3}]$. Всё сходится: верхнюю точку $2\sqrt{3}$ включаем (там нестрогое $\ge$ во втором неравенстве), а нижнюю точку $1$ выкалываем (там строгое $<$ в третьем).