ID: 00022379
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0, \\ x^2=y^2 \end{cases}$ имеет ровно четыре различных решения.
Источник: ФИПИ
Второе уравнение $x^2=y^2$ — это две прямые-биссектрисы $y=x$ и $y=-x$, пересекающиеся в начале координат. Первое — окружность; выделим у неё квадраты.
$x^2-4(a+1)x+y^2-2ay+5a^2+8a+3=0$. Центр $\left(2(a+1);\,a\right)$, а радиус: $R^2=4(a+1)^2+a^2-(5a^2+8a+3)=4a^2+8a+4+a^2-5a^2-8a-3=1$. Красиво: радиус всегда равен $1$, а центр гуляет в точке $\left(2(a+1);\,a\right)$ при изменении $a$.
Четыре точки — это когда окружность радиуса $1$ режет каждую биссектрису по две точки и не проходит через их узел $(0;\,0)$.
Расстояние от центра до прямой $y=x$ (то есть $x-y=0$): $d_1=\dfrac{|2(a+1)-a|}{\sqrt{2}}=\dfrac{|a+2|}{\sqrt{2}}$. Две точки при $d_1<1$: $|a+2|<\sqrt{2}$, то есть $-2-\sqrt{2}</p><p>Расстояние до прямой$y=-x$(то есть$x+y=0$):$d_2=\dfrac{|2(a+1)+a|}{\sqrt{2}}=\dfrac{|3a+2|}{\sqrt{2}}$. Две точки при$d_2<1$:$|3a+2|<\sqrt{2}$, то есть$\dfrac{-2-\sqrt{2}}{3}
Узел $(0;\,0)$: подставив его в первое уравнение, получаем $5a^2+8a+3=0$, корни $a=-1$ и $a=-\dfrac{3}{5}$. При этих $a$ окружность проходит через начало координат, одна точка теряется — их выбрасываем.
Пересечём два интервала. Более узким снизу оказывается $\dfrac{-2-\sqrt{2}}{3}\approx-1{,}14$, сверху — $-2+\sqrt{2}\approx-0{,}59$. Значит, общая часть — это $\left(\dfrac{-2-\sqrt{2}}{3};\,-2+\sqrt{2}\right)$. Оба «плохих» значения $-1$ и $-\dfrac{3}{5}=-0{,}6$ лежат внутри, поэтому промежуток разрывается на три куска. Проверка при $a=-0{,}8$: оба расстояния меньше $1$, узел свободен — четыре точки, всё сходится.