ID: 00022370
Источник: ФИПИ
Первое уравнение — это произведение, равное нулю, поэтому «срабатывает» либо корень, либо большая скобка. Сначала область определения: $\sqrt{3-x}$ требует $x\le3$. Сам множитель $\sqrt{3-x}=0$ при $x=3$ — тогда произведение равно нулю при любом $y$, значит вся вертикальная прямая $x=3$ входит в решение.
При $x<3$ корень положителен, и нужно, чтобы обнулилась большая скобка: $xy^2-3xy-3y+9=0$. Сгруппируем: $xy(y-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3)=0$. Значит, либо $y=3$, либо $xy=3$ (гипербола). Итого множество решений первого уравнения — это прямая $x=3$, горизонтальная прямая $y=3$ и гипербола $xy=3$ (всё при $x\le3$).
Второе уравнение $y=ax$ — прямая через начало координат с наклоном $a$. Нужно, чтобы она пересекала это множество ровно в трёх точках. Разберём пересечения по кусочкам.
С прямой $x=3$ прямая $y=ax$ всегда пересекается ровно один раз — в точке $(3;3a)$. Это одна «гарантированная» точка при любом $a$.
С горизонталью $y=3$: из $ax=3$ находим $x=\dfrac{3}{a}$, и нужно $x\le3$. Для $a<0$ это $x<0$ — годится; для $03$ — вне области; для $a\ge1$ годится.
С гиперболой $xy=3$: подставляя $y=ax$, получаем $ax^2=3$. При $a\le0$ действительных решений нет; при $a>0$ имеем $x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{a}}$. Отрицательный корень $x=-\sqrt{\dfrac{3}{a}}$ годится всегда, а положительный $x=\sqrt{\dfrac{3}{a}}$ лежит в области ($x<3$) только при $a>\dfrac{1}{3}$.
Теперь считаем точки. При $a\le0$ набирается максимум две точки — мало. При $0</p><p>При$a=1$добавляется точка горизонтали, но она попадает в$(3;3)$и сливается с точкой прямой$x=3$— снова три. При$a>1$точка горизонтали становится отдельной, и точек уже четыре — много. Единственное исключение: при$a=3$точка горизонтали$(1;3)$совпадает с точкой гиперболы$(1;3)$, и опять остаётся три.</p><p>Ответ:$a\in\left(\dfrac{1}{3};1\right]\cup\{3\}$. Проверка краёв: при$a=\dfrac{1}{3}$положительная ветка касается границы$x=3$и точки не добавляет — всего две, левый край не берём; при$a=1$ещё три (склейка), берём; между$1$и$3$точек четыре; при$a=3$ снова склейка — три. Всё сходится.