Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00041809

Сначала разберёмся с картинкой. Из вершины $N$ к окружности проведены две касательные, $A$ и $B$ — точки касания. Отрезок $BC$ — диаметр, поэтому точка $C$ диаметрально противоположна точке $B$, а центр $O$ — середина отрезка $BC$.

Пункт а. Докажем, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$.

Центр окружности, касающейся обеих сторон угла, равноудалён от этих сторон, поэтому он лежит на биссектрисе угла. Значит, прямая $NO$ — биссектриса угла $ANB$.

Рассмотрим симметрию относительно прямой $NO$. При ней сторона $NA$ угла переходит в сторону $NB$, а окружность переходит сама в себя (её центр лежит на оси симметрии).

Точка $A$ — единственная общая точка прямой $NA$ и окружности. Значит, её образ — единственная общая точка прямой $NB$ и окружности, то есть точка $B$. Итак, точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $NO$.

Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам: $AB\perp NO$, и точка $M$ пересечения $AB$ с $NO$ — середина $AB$.

Угол $BAC$ вписанный и опирается на диаметр $BC$, поэтому он прямой: $AC\perp AB$.

Прямые $AC$ и $NO$ перпендикулярны одной прямой $AB$ и не совпадают (точка $A$ не лежит на оси, ведь её образ — другая точка $B$). Значит, $AC\parallel NO$. Доказано.

Пункт б. Найдём $NO$ при $AC=18$ и $AB=24$.

Точка $M$ — середина $AB$, поэтому $MB=\dfrac{24}{2}=12$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MO$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ — это средняя линия: $MO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{18}{2}=9$.

Радиус $OB$ перпендикулярен касательной $NB$, значит, треугольник $NBO$ прямоугольный с прямым углом $B$, а $BM$ — его высота, опущенная на гипотенузу $NO$.

Высота, проведённая к гипотенузе, — среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу: $BM^{2}=NM\cdot MO$. Отсюда

$$NM=\dfrac{BM^{2}}{MO}=\dfrac{144}{9}=16.$$

Основание высоты прямоугольного треугольника лежит на гипотенузе между её концами, поэтому точка $M$ находится между $N$ и $O$, и

$$NO=NM+MO=16+9=25.$$

Проверим себя. Радиус $OB=\sqrt{MO^{2}+MB^{2}}=\sqrt{81+144}=15$. Катет $NB=\sqrt{NM^{2}+MB^{2}}=\sqrt{256+144}=20$. Теорема Пифагора для треугольника $NBO$: $20^{2}+15^{2}=400+225=625=25^{2}$. Сходится.