Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00041803

Сначала разберёмся с картинкой. Из вершины $N$ к окружности проведены две касательные, $A$ и $B$ — точки касания. Отрезок $BC$ — диаметр, поэтому точка $C$ диаметрально противоположна точке $B$, а центр $O$ — середина отрезка $BC$.

Пункт а. Докажем, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $NA=NB$. Кроме того, $OA=OB$ как радиусы.

Значит, каждая из точек $N$ и $O$ равноудалена от концов отрезка $AB$, то есть обе лежат на серединном перпендикуляре к $AB$. Поэтому прямая $NO$ и есть этот серединный перпендикуляр: $NO\perp AB$.

Прямая $NO$ — биссектриса угла $ANB$: треугольники $NAO$ и $NBO$ равны по трём сторонам ($NA=NB$, $OA=OB$, сторона $NO$ общая), поэтому $\angle ANO=\angle BNO$.

Угол $BAC$ вписанный и опирается на диаметр $BC$, поэтому он прямой: $AC\perp AB$.

Прямые $AC$ и $NO$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, значит, они параллельны. Совпасть они не могут: точка $A$ — конец отрезка $AB$, а на серединном перпендикуляре к $AB$ она не лежит. Доказано.

Пункт б. Найдём $NO$ при $AC=12$ и $AB=16$.

Обозначим через $M$ точку пересечения прямых $NO$ и $AB$. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка, поэтому $M$ — середина $AB$:

$$MB=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{16}{2}=8.$$

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $O$ — середина стороны $BC$. Значит, $MO$ — средняя линия, она равна половине третьей стороны:

$$MO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{12}{2}=6.$$

Треугольник $OMB$ прямоугольный: угол при $M$ прямой, ведь $NO\perp AB$. По теореме Пифагора находим радиус:

$$OB=\sqrt{MO^{2}+MB^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$

Теперь посмотрим на треугольник $NBO$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\angle NBO=90^{\circ}$. Отрезок $BM$ — высота этого прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу $NO$.

Прямоугольные треугольники $OMB$ и $OBN$ подобны: у них общий острый угол при вершине $O$. Отношения сходственных сторон равны: катет к гипотенузе в одном равен катету к гипотенузе в другом:

$$\dfrac{OM}{OB}=\dfrac{OB}{ON}\ \Rightarrow\ ON=\dfrac{OB^{2}}{OM}=\dfrac{100}{6}=\dfrac{50}{3}.$$

Проверим себя другим путём. Катет $NB$ найдём по теореме Пифагора: $NB^{2}=ON^{2}-OB^{2}=\dfrac{2500}{9}-\dfrac{900}{9}=\dfrac{1600}{9}$, то есть $NB=\dfrac{40}{3}$. Площадь треугольника $NBO$ через катеты: $\dfrac12\cdot\dfrac{40}{3}\cdot 10=\dfrac{200}{3}$; через гипотенузу и высоту: $\dfrac12\cdot\dfrac{50}{3}\cdot 8=\dfrac{200}{3}$. Совпало.