Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00041812

Сначала разберёмся с картинкой. Из вершины $N$ к окружности проведены две касательные, $A$ и $B$ — точки касания. Отрезок $BC$ — диаметр, поэтому точка $C$ диаметрально противоположна точке $B$, а центр $O$ — середина отрезка $BC$.

Пункт а. Докажем, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $NA=NB$. Значит, треугольник $NAB$ равнобедренный с основанием $AB$.

Центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от сторон угла и потому лежит на его биссектрисе: биссектриса угла $ANB$ — это прямая $NO$.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является и высотой. Поэтому $NO\perp AB$.

Угол $BAC$ вписанный и опирается на диаметр $BC$, следовательно, он прямой: $AC\perp AB$.

Две различные прямые, перпендикулярные одной прямой $AB$, параллельны: $AC\parallel NO$ (прямая $NO$ проходит через середину $AB$, а прямая $AC$ — через её конец $A$, так что они не совпадают). Доказано.

Пункт б. Найдём $NO$ при $AC=24$ и $AB=32$.

Треугольник $ABC$ прямоугольный (угол $A$ прямой), его гипотенуза — диаметр:

$$BC=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{576+1024}=\sqrt{1600}=40,$$

значит, радиус $OB=20$.

Пусть $M$ — точка пересечения $NO$ и $AB$. Высота равнобедренного треугольника $NAB$ является и медианой, поэтому $M$ — середина $AB$ и $MB=16$. Из прямоугольного треугольника $OMB$: $OM=\sqrt{OB^{2}-MB^{2}}=\sqrt{400-256}=12$ (то же даёт средняя линия: $OM=\dfrac{AC}{2}=12$).

Радиус $OB$ перпендикулярен касательной $NB$, поэтому треугольник $NBO$ прямоугольный с прямым углом $B$. Углы $BNO$ и $OBM$ оба дополняют угол $BOM$ до $90^{\circ}$, значит, они равны.

Синус угла $OBM$ находим в треугольнике $OMB$: противолежащий катет $OM$ делим на гипотенузу $OB$:

$$\sin\angle OBM=\dfrac{12}{20}=\dfrac35.$$

В треугольнике $NBO$ катет $OB$ лежит напротив угла $BNO$, а $NO$ — гипотенуза:

$$\sin\angle BNO=\dfrac{OB}{NO}\ \Rightarrow\ NO=\dfrac{OB}{\sin\angle BNO}=20:\dfrac35=\dfrac{100}{3}.$$

Проверим себя через высоту к гипотенузе: должно выполняться $OB^{2}=OM\cdot ON$. Слева $400$, справа $12\cdot\dfrac{100}{3}=400$. Верно.