Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00041806

Сначала разберёмся с картинкой. Из вершины $N$ к окружности проведены две касательные, $A$ и $B$ — точки касания. Отрезок $BC$ — диаметр, поэтому точка $C$ диаметрально противоположна точке $B$, а центр $O$ — середина отрезка $BC$.

Пункт а. Докажем, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$.

Обозначим $\angle ANB=2\varphi$. Треугольники $NAO$ и $NBO$ равны по трём сторонам: $NA=NB$ как отрезки касательных из одной точки, $OA=OB$ как радиусы, $NO$ — общая. Поэтому $\angle ANO=\angle BNO=\varphi$, то есть луч $NO$ — биссектриса угла $ANB$.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $\angle NAO=\angle NBO=90^{\circ}$.

Из прямоугольного треугольника $NBO$: $\angle BON=90^{\circ}-\varphi$.

В четырёхугольнике $NAOB$ сумма углов равна $360^{\circ}$, два угла прямые, поэтому центральный угол

$$\angle AOB=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-2\varphi=180^{\circ}-2\varphi.$$

Дуга $AB$, на которую опирается этот центральный угол, меньше полуокружности, а точка $C$ диаметрально противоположна $B$, значит, $C$ лежит на другой, большей дуге. Тогда вписанный угол $ACB$ опирается на меньшую дугу $AB$ и равен половине центрального:

$$\angle ACB=\dfrac{180^{\circ}-2\varphi}{2}=90^{\circ}-\varphi.$$

Итак, $\angle ACB=\angle BON$. Это соответственные углы при прямых $CA$ и $ON$ и секущей $BC$: лучи $CB$ и $OB$ направлены в одну сторону, а точки $A$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $BC$. Равенство соответственных углов означает, что $AC\parallel NO$. Доказано.

Пункт б. Найдём $NO$ при $AC=6$ и $AB=8$.

Угол $BAC$ опирается на диаметр, поэтому он прямой. По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$:

$$BC=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{36+64}=10,$$

значит, радиус $OB=5$.

Косинус угла $ACB$ читаем из того же прямоугольного треугольника: прилежащий катет $AC$ делим на гипотенузу $BC$:

$$\cos\angle ACB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35.$$

В пункте а мы доказали, что $\angle BON=\angle ACB$. В прямоугольном треугольнике $NBO$ катет $OB$ прилежит к углу $BON$, а $NO$ — гипотенуза:

$$\cos\angle BON=\dfrac{OB}{NO}\ \Rightarrow\ NO=\dfrac{OB}{\cos\angle BON}=5:\dfrac35=\dfrac{25}{3}.$$

Проверим себя другим путём. Пусть $M$ — точка пересечения $NO$ и $AB$; это середина $AB$, а $OM$ — средняя линия треугольника $ABC$, так что $OM=\dfrac{AC}{2}=3$. В прямоугольном треугольнике $NBO$ отрезок $BM$ — высота к гипотенузе, поэтому $OB^{2}=OM\cdot ON$: $25=3\cdot\dfrac{25}{3}$. Верно.