Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013676

Слева — разность логарифмов с основанием $5$. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Неравенство нестрогое.

Область определения: $\dfrac2x+2\gt 0$ (то есть $x\gt 0$ или $x\lt -1$), $x+3\gt 0$ и $\dfrac{x+6}{x^{2}}\gt 0$ (то есть $x\gt -6$, $x\ne 0$). Пересечение: $x\in(-3;-1)\cup(0;+\infty)$.

Слева: $\log_5\dfrac{\frac2x+2}{x+3}=\log_5\dfrac{2+2x}{x(x+3)}$. Основание $5\gt 1$, переходим к аргументам и переносим всё влево:

$$\dfrac{2+2x}{x(x+3)}\leqslant \dfrac{x+6}{x^{2}}.$$

Общий знаменатель $x^{2}(x+3)$; числитель: $x(2+2x)-(x+6)(x+3)=x^{2}-7x-18=(x-9)(x+2)$. Получаем:

$$\dfrac{(x-9)(x+2)}{x^{2}(x+3)}\leqslant 0.$$

Множитель $x^{2}\gt 0$ убираем; решаем $\dfrac{(x-9)(x+2)}{x+3}\leqslant 0$. Нули $x=-2$, $x=9$ входят (нестрогое). В пределах ОДЗ получаем $[-2;-1)\cup(0;9]$.