Решите неравенство log по основанию 5 левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби плюс 2 правая круглая скобка - log по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно log по основанию 5 левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 6, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка

левая квадратная скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 0; 9 правая квадратная скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 5 левая круглая скобка…

№2. Задание 15

ID: 00013676

Решите неравенство

$\log_{5}\left( \dfrac{2}{x}+2\right)$ - $\log_{5}\left( x +3\right)$ $\leq$ $\log_{5}\left(\dfrac{x+6}{x^{2}} \right)$

Решение

Слева — разность логарифмов с основанием $5$ . Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Неравенство нестрогое.

Область определения: $\dfrac2x+2\gt 0$ (то есть $x\gt 0$ или $x\lt -1$ ), $x+3\gt 0$ и $\dfrac{x+6}{x^{2}}\gt 0$ (то есть $x\gt -6$ , $x\ne 0$ ). Пересечение: $x\in(-3;-1)\cup(0;+\infty)$ .

Слева: $\log_5\dfrac{\frac2x+2}{x+3}=\log_5\dfrac{2+2x}{x(x+3)}$ . Основание $5\gt 1$ , переходим к аргументам и переносим всё влево:

$\dfrac{2+2x}{x(x+3)}\leqslant \dfrac{x+6}{x^{2}}.$

Общий знаменатель $x^{2}(x+3)$ ; числитель: $x(2+2x)-(x+6)(x+3)=x^{2}-7x-18=(x-9)(x+2)$ . Получаем:

$\dfrac{(x-9)(x+2)}{x^{2}(x+3)}\leqslant 0.$

Множитель $x^{2}\gt 0$ убираем; решаем $\dfrac{(x-9)(x+2)}{x+3}\leqslant 0$ . Нули $x=-2$ , $x=9$ входят (нестрогое). В пределах ОДЗ получаем $[-2;-1)\cup(0;9]$ .

Ответ

$\left[-2 ; -1 \right)$ $\bigcup$ $\left(0; 9 \right]$