Решит неравенство log по основанию 7 левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 12 правая круглая скобка - log по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 12 правая круглая скобка больше или равно log по основанию 7 левая круглая скобка 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка

левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решит неравенство log по основанию 7 левая круглая скобка 2x в…

№2. Задание 15

ID: 00013687

Решит неравенство

$\log_{7}\left( 2x^{2}+12\right)$ - $\log_{7}\left(x^{2}-x + 12 \right)$ $\geq$ $\log_{7}\left( 2-\dfrac{1}{x}\right)$

Решение

Слева — разность логарифмов с основанием $7$ . Свернём её в один и сравним аргументы. Самое аккуратное — область определения у правого логарифма.

Выражения $2x^{2}+12\gt 0$ и $x^{2}-x+12\gt 0$ положительны всегда. А $2-\dfrac1x=\dfrac{2x-1}{x}\gt 0$ требует $x\lt 0$ или $x\gt \dfrac12$ . Это ОДЗ.

Сворачиваем левую часть в $\log_7\dfrac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12}$ и переходим к аргументам (основание $7\gt 1$ ):

$\dfrac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12}\geqslant \dfrac{2x-1}{x}.$

Перенесём всё влево, общий знаменатель $x(x^{2}-x+12)$ . После раскрытия скобок числитель упрощается до $3x^{2}-13x+12=(3x-4)(x-3)$ :

$\dfrac{(3x-4)(x-3)}{x(x^{2}-x+12)}\geqslant 0.$

Множитель $x^{2}-x+12\gt 0$ убираем. Остаётся $\dfrac{(3x-4)(x-3)}{x}\geqslant 0$ . Нули $x=\dfrac43$ , $x=3$ входят, точка $x=0$ выколота.

Решая это и пересекая с ОДЗ ( $x\lt 0$ или $x\gt \tfrac12$ ), получаем $\left(\dfrac12;\dfrac43\right]\cup[3;+\infty)$ .

Ответ

$\left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{4}{3}\right]$ $\bigcup$ $\left[ 3 ; +\infty\right)$