ID: 00009099
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$, $\text{тыс. рублей}$ в конце года $t$ ($t = 1, 2, \dots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на $10 \%$. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?
Источник: ФИПИ
Стоимость бумаг растёт как $t^2$, а деньги на счёте — в геометрической прогрессии. Нужно выбрать год продажи так, чтобы итог к заданному году был наибольшим.
Если продать в конце года $t$, то к концу 25-го года на счёте будет $t^2\cdot 1{,}1^{\,25-t}$. Сравним соседние варианты — продать в конце года $t$ или $t+1$.
Отношение «продать на год позже» к «продать сейчас» равно:
$$\dfrac{(t+1)^2}{t^2}\cdot\dfrac{1}{1{,}1}=\dfrac{(t+1)^2}{t^2\cdot 1{,}1}.$$
Ждать выгодно, пока это отношение больше единицы, то есть пока $\left(1+\tfrac{1}{t}\right)^2\gt 1{,}1$. Как только рост бумаг перестаёт обгонять рост вклада, продавать больше не выгодно.
Решая неравенство, получаем, что выгодно держать до года $t=21$, а затем продавать. Значит, продать следует в конце 21-го года.
Типичная ошибка — сравнивать абсолютные значения для всех 25 лет вручную; достаточно сравнить соседние годы через отношение.
$21$.