ID: 00013065
Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно 𝑡2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 𝑡 единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, – 300 рублей. Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Источник: ФИПИ
Чтобы произвести $u$ единиц товара, рабочим нужно отработать $u^2$ часов. На двух заводах час стоит по-разному; при общем бюджете надо выпустить как можно больше товара суммарно.
Пусть на первом заводе выпускают $u_1$ единиц (это $200\,u_1^2$ руб.), на втором — $u_2$ единиц ($300\,u_2^2$ руб.). Бюджет ограничивает затраты: $200\,u_1^2+300\,u_2^2=1 200 000$, а максимизируем $u_1+u_2$.
В точке максимума «отдача на рубль» одинакова на обоих заводах; это даёт связь между $u_1$ и $u_2$:
$$200\,u_1=300\,u_2\ \Rightarrow\ u_1=\tfrac{300}{200}\,u_2.$$
Подставляя в ограничение бюджета, находим $u_2$, затем $u_1$, и их сумму. Для данных чисел получаем $u_1+u_2=100$ единиц.
Типичная ошибка — делить бюджет поровну между заводами; оптимум достигается при равенстве предельных отдач, а не при равных тратах.