Global EE

Задание 13 ЕГЭ по математике №00009100

Задание №13. Экономические задачи

Задачи на оптимальный выбор

№2. Задание 13

ID: 00009100

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$, $\text{часов в неделю}$, то за эту неделю они производят $t$, $\text{единиц товара}$. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему $200$, $\text{рублей}$, а на заводе, расположенном во втором городе, – $300$, $\text{рублей}$. Вадим готов выделять $1\,200\,000$, $\text{рублей в неделю}$ на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Источник: ФИПИ

Решение

Чтобы произвести $u$ единиц товара, рабочим нужно отработать $u^2$ часов. На двух заводах час стоит по-разному; при общем бюджете надо выпустить как можно больше товара суммарно.

Пусть на первом заводе выпускают $u_1$ единиц (это $200\,u_1^2$ руб.), на втором — $u_2$ единиц ($300\,u_2^2$ руб.). Бюджет ограничивает затраты: $200\,u_1^2+300\,u_2^2=1 200 000$, а максимизируем $u_1+u_2$.

В точке максимума «отдача на рубль» одинакова на обоих заводах; это даёт связь между $u_1$ и $u_2$:

$$200\,u_1=300\,u_2\ \Rightarrow\ u_1=\tfrac{300}{200}\,u_2.$$

Подставляя в ограничение бюджета, находим $u_2$, затем $u_1$, и их сумму. Для данных чисел получаем $u_1+u_2=100$ единиц.

Типичная ошибка — делить бюджет поровну между заводами; оптимум достигается при равенстве предельных отдач, а не при равных тратах.

Ответ

100

Видеоразбор

Другие задания по теме «Задачи на оптимальный выбор» (8)