Показательны… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042071

Для вычисления $f(63)$ нужно восстановить формулу — найти основание $a$ и сдвиг $b$ по отмеченным точкам графика.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица.

Отмечены точки $(1;\,1)$ и $(3;\,2)$. По определению логарифма равенство $y=\log_a(x+b)$ означает $a^{y}=x+b$:

$$\begin{cases}a^{1}=1+b,\\ a^{2}=3+b.\end{cases}$$

Из первого уравнения $b=a-1$. Подставим во второе:

$$a^{2}=a+2\ \Rightarrow\ a^{2}-a-2=0\ \Rightarrow\ a=2\ \text{или}\ a=-1.$$

Основание логарифма должно быть положительным и не равным $1$, поэтому $a=-1$ не годится. Остаётся $a=2$, тогда $b=a-1=1$:

$$f(x)=\log_2(x+1).$$

Сверимся с рисунком: график проходит через начало координат, и правда $f(0)=\log_2 1=0$.

Теперь

$$f(63)=\log_2(63+1)=\log_2 64=6,\quad\text{так как } 2^{6}=64.$$

Проверим вторым способом. Из точки $(0;\,0)$: $\log_a b=0$, значит, $b=1$. Из точки $(1;\,1)$: $\log_a 2=1$, значит, $a=2$. Формула та же, и $\log_2 64=6$.