Показательны… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042070

Чтобы посчитать $f(27)$, нужно знать формулу целиком, то есть основание $a$ и сдвиг $b$. Найдём их по точкам графика в узлах сетки.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица.

На графике отмечены точки $(-1;\,2)$ и $(3;\,3)$. Запишем для них равенство $y=\log_a(x+b)$ без логарифма — по определению логарифма $a^{y}=x+b$:

$$\begin{cases}a^{2}=-1+b,\\ a^{3}=3+b.\end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$a^{3}-a^{2}=4\ \Rightarrow\ a^{2}(a-1)=4.$$

Основание логарифма положительно и не равно $1$. При $0\lt a\lt 1$ левая часть отрицательна, а при $a\gt 1$ она растёт вместе с $a$, поэтому решение одно. Подбором: $a=2$ даёт $4\cdot1=4$ — подходит. Тогда $b=a^{2}+1=5$.

$$f(x)=\log_2(x+5).$$

Проверим вторым способом, по точкам графика на осях. График пересекает ось $x$ в узле $(-4;\,0)$: логарифм равен нулю только от единицы, значит, $-4+b=1$ и $b=5$. Ещё график проходит через узел $(-3;\,1)$: $\log_a(-3+5)=\log_a 2=1$, значит, $a=2$. Совпало.

Теперь считаем:

$$f(27)=\log_2(27+5)=\log_2 32=5,\quad\text{так как } 2^{5}=32.$$