Преобразовани… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00042000

Квадрат косинуса нетабличного угла уберём формулой понижения степени:

$$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}.$$

При $\alpha=\dfrac{5\pi}{12}$ удвоенный угол равен $\dfrac{10\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{6}$. Ещё упростим корень: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3$.

$$2\sqrt3\cdot\dfrac{1+\cos\frac{5\pi}{6}}{2}-\sqrt3=\sqrt3\left(1+\cos\dfrac{5\pi}{6}\right)-\sqrt3=\sqrt3\cos\dfrac{5\pi}{6}.$$

Угол $\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}$ лежит во второй четверти, там косинус отрицателен: $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$.

$$\sqrt3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}=-1{,}5.$$

Проверка через точное значение: $\cos\dfrac{5\pi}{12}=\cos75^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, его квадрат $\dfrac{8-2\sqrt{12}}{16}=\dfrac{2-\sqrt3}{4}$. Тогда $2\sqrt3\cdot\dfrac{2-\sqrt3}{4}-\sqrt3=\dfrac{4\sqrt3-6}{4}-\sqrt3=\sqrt3-1{,}5-\sqrt3=-1{,}5$.