Преобразовани… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00041999

Угол $\dfrac{13\pi}{8}$ не табличный, но квадрат косинуса подсказывает формулу косинуса двойного угла: $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$. Чтобы она появилась, вынесем общий множитель.

$32=4\cdot8$, поэтому $\sqrt{32}=\sqrt4\cdot\sqrt8=2\sqrt8$. Тогда

$$\sqrt{32}\cos^2\dfrac{13\pi}{8}-\sqrt8=\sqrt8\left(2\cos^2\dfrac{13\pi}{8}-1\right)=\sqrt8\cos\dfrac{13\pi}{4}.$$

Упростим угол. Косинус имеет период $2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$, отбросим полный оборот: $\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$.

Угол $\dfrac{5\pi}{4}=\pi+\dfrac{\pi}{4}$ лежит в третьей четверти, там косинус отрицателен: $\cos\dfrac{5\pi}{4}=-\cos\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.

$$\sqrt8\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{16}}{2}=-\dfrac{4}{2}=-2.$$

Проверка через понижение степени: $\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}$, тогда $\sqrt{32}\cdot\dfrac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}-\sqrt8=2\sqrt2\left(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)-2\sqrt2=2\sqrt2-2-2\sqrt2=-2$.