В треугольнике ABC точки A индекс 1 , B индекс 1 и C индекс 1 — середины сторон BC , AC и AB соответственно, AH — высота, угол BAC равно 120 в степени ° , угол BCA равно 45 в степени ° . а) Докажите, что точки A индекс 1 , B индекс 1 , C индекс 1 и H лежат на одной окружности. б) Найдите A индекс 1 H , если BC равно 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .

A индекс 1 H равно 3

Задание 17 ЕГЭ по математике: В треугольнике ABC точки A индекс 1 , B индекс 1 и C индекс 1 —…

№2. Задание 17

ID: 00028795

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$ , $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$ , $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=120^{\circ}$ , $\angle BCA=45^{\circ}$ .

а) Докажите, что точки $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_1H$ , если $BC=6\sqrt{3}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Разберёмся с чертежом. В треугольнике $ABC$ отмечены середины всех сторон: $A_1$ — середина $BC$ , $B_1$ — середина $AC$ , $C_1$ — середина $AB$ . Кроме того, из вершины $A$ опущена высота $AH$ на сторону $BC$ . Углы при вершинах $B$ и $C$ острые (это видно из условия: $\angle BAC=120^{\circ}$ , $\angle BCA=45^{\circ}$ , значит, $\angle ABC=180^{\circ}-120^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$ ), поэтому основание высоты $H$ лежит внутри отрезка $BC$ .

Пункт а. Докажем, что точки $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

Отрезок $C_1B_1$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$ , то есть является средней линией треугольника, а средняя линия параллельна третьей стороне: $C_1B_1\parallel BC$ .

Точки $A_1$ и $H$ лежат на прямой $BC$ . Значит, у четырёхугольника $C_1B_1HA_1$ стороны $C_1B_1$ и $HA_1$ параллельны — это трапеция (она невырожденная, так как $AB\ne AC$ , и потому $H$ не совпадает с $A_1$ ).

Теперь сравним диагонали этой трапеции — отрезки $C_1H$ и $B_1A_1$ .

Отрезок $B_1A_1$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$ , то есть это средняя линия, параллельная стороне $AB$ , и её длина вдвое меньше: $B_1A_1=\dfrac{AB}{2}$ .

Отрезок $C_1H$ рассмотрим в треугольнике $ABH$ . Угол при вершине $H$ прямой (ведь $AH$ — высота), значит, $AB$ — гипотенуза, а $C_1$ — её середина. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $C_1H=\dfrac{AB}{2}$ .

Итак, $C_1H=B_1A_1$ , то есть диагонали трапеции равны. Трапеция с равными диагоналями — равнобедренная, а у равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$ . По признаку вписанного четырёхугольника вокруг такой трапеции можно описать окружность.

Значит, все четыре точки $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Доказано.

Пункт б. Найдём $A_1H$ при $BC=6\sqrt{3}$ .

Точки $A_1$ и $H$ обе лежат на отрезке $BC$ , поэтому расстояние между ними — это разность расстояний от вершины $B$ : $A_1H=\left|BH-BA_1\right|$ .

Половина стороны очевидна: $BA_1=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ .

Чтобы найти $BH$ , сначала найдём сторону $AB$ по теореме синусов. Запишем её в виде $\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=\dfrac{AB}{\sin\angle BCA}$ .

Считаем удвоенный радиус описанной окружности: $\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=12$ .

Тогда $AB=12\sin\angle BCA=12\sin 45^{\circ}=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$ .

Теперь из прямоугольного треугольника $ABH$ (прямой угол при $H$ ) находим катет $BH$ , прилежащий к углу $\angle ABC=15^{\circ}$ : $BH=AB\cos 15^{\circ}$ .

Косинус $15^{\circ}$ вычислим как косинус разности: $\cos 15^{\circ}=\cos\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

Подставляем: $BH=6\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\dfrac{6\left(\sqrt{12}+2\right)}{4}=\dfrac{6\left(2\sqrt{3}+2\right)}{4}=3\sqrt{3}+3$ .

Осталось вычесть: $A_1H=\left|BH-BA_1\right|=\left|3\sqrt{3}+3-3\sqrt{3}\right|=3$ .

Проверим себя: $BH=3\sqrt{3}+3\approx 8{,}2$ , а вся сторона $BC=6\sqrt{3}\approx 10{,}4$ , то есть точка $H$ действительно лежит внутри отрезка $BC$ , правее середины $A_1\approx 5{,}2$ — всё согласуется.

Ответ

$A_1H=3$