ID: 00028791
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=135^{\circ}$, $B_1C_1=10$, а площадь треугольника $AB_1C_1$ в семь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Источник: ФИПИ
Здесь угол при вершине $A$ тупой, поэтому чертёж рисуем так: треугольник $ABC$ с углом $135^{\circ}$ при вершине $A$, на стороне $AB$ отмечаем точку $C_1$, на стороне $AC$ — точку $B_1$ и проводим окружность через четыре точки $B$, $C$, $B_1$ и $C_1$. Отрезок $B_1C_1$ отрезает от треугольника маленький треугольник $AB_1C_1$, а остаток — это четырёхугольник $BCB_1C_1$.
Пункт а. Докажем, что треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны.
Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, а у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$: $\angle BC_1B_1+\angle BCB_1=180^{\circ}$.
Так как $B_1$ лежит на стороне $AC$, угол $\angle BCB_1$ совпадает с углом $\angle ACB$ треугольника. Так как $C_1$ лежит на стороне $AB$, углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle BC_1B_1$ смежные, поэтому $\angle AC_1B_1=180^{\circ}-\angle BC_1B_1=\angle ACB$.
Значит, у треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ совпадают два угла: общий угол $A$ и пара $\angle AC_1B_1=\angle ACB$. По признаку подобия по двум углам треугольники подобны, вершине $C$ соответствует $C_1$, вершине $B$ — $B_1$. Доказано.
Пункт б. Найдём $BC$ и радиус при $\angle A=135^{\circ}$ и $B_1C_1=10$.
Пусть $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$. Тогда отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$: $\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=k^2$.
Треугольник $ABC$ разрезан на треугольник $AB_1C_1$ и четырёхугольник $BCB_1C_1$, а по условию четырёхугольник в семь раз больше по площади: $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+7S_{AB_1C_1}=8S_{AB_1C_1}$.
Отсюда $k^2=\dfrac18$, то есть $k=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$, и $BC=B_1C_1\cdot 2\sqrt{2}=10\cdot 2\sqrt{2}=20\sqrt{2}$.
Радиус ищем через вписанные углы: длина хорды равна $2R\sin(\text{вписанный угол, опирающийся на неё})$. Обозначим $\varphi=\angle C_1BB_1$ — вписанный угол на хорду $B_1C_1$.
Точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $\angle ABB_1=\varphi$. В треугольнике $ABB_1$ угол при вершине $B_1$, смежный с $\angle AB_1B$, — это как раз $\angle BB_1C$, и как внешний угол он равен сумме двух внутренних: $\angle BB_1C=135^{\circ}+\varphi$. Этот угол вписанный и опирается на хорду $BC$.
Записываем: $B_1C_1=2R\sin\varphi$, $BC=2R\sin(135^{\circ}+\varphi)$, и делим второе на первое: $\dfrac{20\sqrt{2}}{10}=2\sqrt{2}=\dfrac{\sin(135^{\circ}+\varphi)}{\sin\varphi}$.
Раскрываем синус суммы и делим на $\sin\varphi$: $\cos 135^{\circ}+\sin 135^{\circ}\operatorname{ctg}\varphi=2\sqrt{2}$, то есть $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{ctg}\varphi=2\sqrt{2}$.
Умножим обе части на $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$: $-1+\operatorname{ctg}\varphi=4$, откуда $\operatorname{ctg}\varphi=5$.
Тогда $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\varphi}=\dfrac{10}{2}\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}=5\sqrt{1+25}=5\sqrt{26}$.
Проверим себя: $5\sqrt{26}\approx 25{,}5$, а половина хорды $BC$ равна $10\sqrt{2}\approx 14{,}1$ — радиус ожидаемо больше.
$BC=20\sqrt{2}$; $R=5\sqrt{26}\approx 25{,}5$