Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках C индекс 1 и B индекс 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB индекс 1 C индекс 1 . б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если угол A равно 135 в степени ° , B индекс 1 C индекс 1 равно 10 , а площадь треугольника AB индекс 1 C индекс 1 в семь раз меньше площади четырёхугольника BCB индекс 1 C индекс 1 .

BC равно 20 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; R равно 5 корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента приблизительно равно 25, 5

Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и…

№2. Задание 17

ID: 00028791

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$ .

б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=135^{\circ}$ , $B_1C_1=10$ , а площадь треугольника $AB_1C_1$ в семь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Здесь угол при вершине $A$ тупой, поэтому чертёж рисуем так: треугольник $ABC$ с углом $135^{\circ}$ при вершине $A$ , на стороне $AB$ отмечаем точку $C_1$ , на стороне $AC$ — точку $B_1$ и проводим окружность через четыре точки $B$ , $C$ , $B_1$ и $C_1$ . Отрезок $B_1C_1$ отрезает от треугольника маленький треугольник $AB_1C_1$ , а остаток — это четырёхугольник $BCB_1C_1$ .

Пункт а. Докажем, что треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны.

Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, а у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$ : $\angle BC_1B_1+\angle BCB_1=180^{\circ}$ .

Так как $B_1$ лежит на стороне $AC$ , угол $\angle BCB_1$ совпадает с углом $\angle ACB$ треугольника. Так как $C_1$ лежит на стороне $AB$ , углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle BC_1B_1$ смежные, поэтому $\angle AC_1B_1=180^{\circ}-\angle BC_1B_1=\angle ACB$ .

Значит, у треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ совпадают два угла: общий угол $A$ и пара $\angle AC_1B_1=\angle ACB$ . По признаку подобия по двум углам треугольники подобны, вершине $C$ соответствует $C_1$ , вершине $B$ — $B_1$ . Доказано.

Пункт б. Найдём $BC$ и радиус при $\angle A=135^{\circ}$ и $B_1C_1=10$ .

Пусть $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$ . Тогда отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$ : $\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=k^2$ .

Треугольник $ABC$ разрезан на треугольник $AB_1C_1$ и четырёхугольник $BCB_1C_1$ , а по условию четырёхугольник в семь раз больше по площади: $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+7S_{AB_1C_1}=8S_{AB_1C_1}$ .

Отсюда $k^2=\dfrac18$ , то есть $k=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ , и $BC=B_1C_1\cdot 2\sqrt{2}=10\cdot 2\sqrt{2}=20\sqrt{2}$ .

Радиус ищем через вписанные углы: длина хорды равна $2R\sin(\text{вписанный угол, опирающийся на неё})$ . Обозначим $\varphi=\angle C_1BB_1$ — вписанный угол на хорду $B_1C_1$ .

Точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$ , поэтому $\angle ABB_1=\varphi$ . В треугольнике $ABB_1$ угол при вершине $B_1$ , смежный с $\angle AB_1B$ , — это как раз $\angle BB_1C$ , и как внешний угол он равен сумме двух внутренних: $\angle BB_1C=135^{\circ}+\varphi$ . Этот угол вписанный и опирается на хорду $BC$ .

Записываем: $B_1C_1=2R\sin\varphi$ , $BC=2R\sin(135^{\circ}+\varphi)$ , и делим второе на первое: $\dfrac{20\sqrt{2}}{10}=2\sqrt{2}=\dfrac{\sin(135^{\circ}+\varphi)}{\sin\varphi}$ .

Раскрываем синус суммы и делим на $\sin\varphi$ : $\cos 135^{\circ}+\sin 135^{\circ}\operatorname{ctg}\varphi=2\sqrt{2}$ , то есть $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{ctg}\varphi=2\sqrt{2}$ .

Умножим обе части на $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ : $-1+\operatorname{ctg}\varphi=4$ , откуда $\operatorname{ctg}\varphi=5$ .

Тогда $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\varphi}=\dfrac{10}{2}\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}=5\sqrt{1+25}=5\sqrt{26}$ .

Проверим себя: $5\sqrt{26}\approx 25{,}5$ , а половина хорды $BC$ равна $10\sqrt{2}\approx 14{,}1$ — радиус ожидаемо больше.

Ответ

$BC=20\sqrt{2}$ ; $R=5\sqrt{26}\approx 25{,}5$