Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028794

Начнём с чертежа, его легко построить по описанию: треугольник $ABC$ с тупым углом $120^{\circ}$ при вершине $A$; окружность проходит через $B$ и $C$ и пересекает сторону $AB$ в точке $C_1$, а сторону $AC$ — в точке $B_1$. Отрезок $B_1C_1$ делит треугольник на маленький треугольник $AB_1C_1$ и четырёхугольник $BCB_1C_1$, вписанный в эту окружность.

Пункт а. Докажем подобие треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$.

Так как все четыре точки $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ лежат на окружности, четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписанный, а значит, его противоположные углы в сумме дают $180^{\circ}$: $\angle BC_1B_1+\angle BCB_1=180^{\circ}$.

Здесь $\angle BCB_1=\angle ACB$, потому что точка $B_1$ лежит на стороне $AC$. Точка же $C_1$ лежит на стороне $AB$, поэтому углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle BC_1B_1$ смежные и $\angle AC_1B_1=180^{\circ}-\angle BC_1B_1=\angle ACB$.

Итого: угол $A$ у обоих треугольников общий, а $\angle AC_1B_1=\angle ACB$. По признаку подобия по двум углам треугольник $AB_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$. Доказано.

Пункт б. Найдём $B_1C_1$ и радиус при $\angle A=120^{\circ}$, $BC=10\sqrt{7}$.

Пусть $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$ — коэффициент подобия, тогда $S_{AB_1C_1}=k^2S_{ABC}$, ведь площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Треугольник $ABC$ распадается на треугольник $AB_1C_1$ и четырёхугольник $BCB_1C_1$, а четырёхугольник по условию втрое больше по площади: $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+3S_{AB_1C_1}=4S_{AB_1C_1}$.

Значит, $k^2=\dfrac14$, то есть $k=\dfrac12$, и $B_1C_1=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10\sqrt{7}}{2}=5\sqrt{7}$.

Радиус ищем через вписанные углы. Правило простое: длина хорды равна $2R\sin(\text{вписанного угла, опирающегося на эту хорду})$. Возьмём $\varphi=\angle C_1BB_1$ — угол, опирающийся на хорду $B_1C_1$.

Точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $\angle ABB_1=\varphi$. В треугольнике $ABB_1$ угол $\angle BB_1C$ является внешним при вершине $B_1$ и потому равен сумме внутренних углов $A$ и $\angle ABB_1$: $\angle BB_1C=120^{\circ}+\varphi$. Этот угол опирается на хорду $BC$.

Получаем систему: $B_1C_1=2R\sin\varphi$, $BC=2R\sin\left(120^{\circ}+\varphi\right)$. Делим второе на первое: $\dfrac{10\sqrt{7}}{5\sqrt{7}}=2=\dfrac{\sin\left(120^{\circ}+\varphi\right)}{\sin\varphi}$.

Раскрываем синус суммы и делим на $\sin\varphi$: $\cos 120^{\circ}+\sin 120^{\circ}\operatorname{ctg}\varphi=2$, то есть $-\dfrac12+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{ctg}\varphi=2$.

Отсюда $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{ctg}\varphi=\dfrac52$ и $\operatorname{ctg}\varphi=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$.

Теперь радиус: $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\varphi}=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\sqrt{1+\dfrac{25}{3}}=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\sqrt{\dfrac{28}{3}}$.

Упростим корень: $\sqrt{\dfrac{28}{3}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$. Тогда $R=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\cdot\dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\cdot 7}{\sqrt{3}}=\dfrac{35}{\sqrt{3}}=\dfrac{35\sqrt{3}}{3}$.

Прикинем: $\dfrac{35\sqrt{3}}{3}\approx 20{,}2$, а половина хорды $BC$ равна $5\sqrt{7}\approx 13{,}2$ — радиус больше, всё согласуется.