Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках C индекс 1 и B индекс 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB индекс 1 C индекс 1 . б) Вычислите длину стороны B индекс 1 C индекс 1 и радиус данной окружности, если угол A равно 120 в степени ° , BC равно 10 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , а площадь треугольника AB индекс 1 C индекс 1 в три раза меньше площади четырёхугольника BCB индекс 1 C индекс 1 .

B индекс 1 C индекс 1 равно 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ; R равно дробь: числитель: 35 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента, знаменатель: 3 конец дроби приблизительно равно 20, 2

Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и…

№2. Задание 17

ID: 00028794

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$ .

б) Вычислите длину стороны $B_1C_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=120^{\circ}$ , $BC=10\sqrt{7}$ , а площадь треугольника $AB_1C_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Начнём с чертежа, его легко построить по описанию: треугольник $ABC$ с тупым углом $120^{\circ}$ при вершине $A$ ; окружность проходит через $B$ и $C$ и пересекает сторону $AB$ в точке $C_1$ , а сторону $AC$ — в точке $B_1$ . Отрезок $B_1C_1$ делит треугольник на маленький треугольник $AB_1C_1$ и четырёхугольник $BCB_1C_1$ , вписанный в эту окружность.

Пункт а. Докажем подобие треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$ .

Так как все четыре точки $B$ , $C$ , $B_1$ , $C_1$ лежат на окружности, четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписанный, а значит, его противоположные углы в сумме дают $180^{\circ}$ : $\angle BC_1B_1+\angle BCB_1=180^{\circ}$ .

Здесь $\angle BCB_1=\angle ACB$ , потому что точка $B_1$ лежит на стороне $AC$ . Точка же $C_1$ лежит на стороне $AB$ , поэтому углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle BC_1B_1$ смежные и $\angle AC_1B_1=180^{\circ}-\angle BC_1B_1=\angle ACB$ .

Итого: угол $A$ у обоих треугольников общий, а $\angle AC_1B_1=\angle ACB$ . По признаку подобия по двум углам треугольник $AB_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ . Доказано.

Пункт б. Найдём $B_1C_1$ и радиус при $\angle A=120^{\circ}$ , $BC=10\sqrt{7}$ .

Пусть $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$ — коэффициент подобия, тогда $S_{AB_1C_1}=k^2S_{ABC}$ , ведь площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Треугольник $ABC$ распадается на треугольник $AB_1C_1$ и четырёхугольник $BCB_1C_1$ , а четырёхугольник по условию втрое больше по площади: $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+3S_{AB_1C_1}=4S_{AB_1C_1}$ .

Значит, $k^2=\dfrac14$ , то есть $k=\dfrac12$ , и $B_1C_1=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10\sqrt{7}}{2}=5\sqrt{7}$ .

Радиус ищем через вписанные углы. Правило простое: длина хорды равна $2R\sin(\text{вписанного угла, опирающегося на эту хорду})$ . Возьмём $\varphi=\angle C_1BB_1$ — угол, опирающийся на хорду $B_1C_1$ .

Точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$ , поэтому $\angle ABB_1=\varphi$ . В треугольнике $ABB_1$ угол $\angle BB_1C$ является внешним при вершине $B_1$ и потому равен сумме внутренних углов $A$ и $\angle ABB_1$ : $\angle BB_1C=120^{\circ}+\varphi$ . Этот угол опирается на хорду $BC$ .

Получаем систему: $B_1C_1=2R\sin\varphi$ , $BC=2R\sin\left(120^{\circ}+\varphi\right)$ . Делим второе на первое: $\dfrac{10\sqrt{7}}{5\sqrt{7}}=2=\dfrac{\sin\left(120^{\circ}+\varphi\right)}{\sin\varphi}$ .

Раскрываем синус суммы и делим на $\sin\varphi$ : $\cos 120^{\circ}+\sin 120^{\circ}\operatorname{ctg}\varphi=2$ , то есть $-\dfrac12+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{ctg}\varphi=2$ .

Отсюда $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{ctg}\varphi=\dfrac52$ и $\operatorname{ctg}\varphi=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$ .

Теперь радиус: $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\varphi}=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\sqrt{1+\dfrac{25}{3}}=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\sqrt{\dfrac{28}{3}}$ .

Упростим корень: $\sqrt{\dfrac{28}{3}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ . Тогда $R=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\cdot\dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\cdot 7}{\sqrt{3}}=\dfrac{35}{\sqrt{3}}=\dfrac{35\sqrt{3}}{3}$ .

Прикинем: $\dfrac{35\sqrt{3}}{3}\approx 20{,}2$ , а половина хорды $BC$ равна $5\sqrt{7}\approx 13{,}2$ — радиус больше, всё согласуется.

Ответ

$B_1C_1=5\sqrt{7}$ ; $R=\dfrac{35\sqrt{3}}{3}\approx 20{,}2$