Окружности… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00028789

Разберёмся, что нарисовано. Есть треугольник $ABC$. Через две его вершины, $B$ и $C$, проведена окружность; она обязана пересечь стороны $AB$ и $AC$ ещё раз — эти вторые точки и назвали $C_1$ (на стороне $AB$) и $B_1$ (на стороне $AC$). Чертёж делается так: начертите треугольник $ABC$ с острым углом при вершине $A$, отметьте точку $C_1$ внутри стороны $AB$, точку $B_1$ внутри стороны $AC$ и проведите через четыре точки $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ одну окружность. Внутри треугольника вырезается маленький треугольник $AB_1C_1$, а между ним и стороной $BC$ остаётся четырёхугольник $BCB_1C_1$.

Пункт а. Докажем подобие треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$.

Точки $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной окружности, значит, $BCB_1C_1$ — вписанный четырёхугольник. У вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны $180^{\circ}$, поэтому $\angle BC_1B_1+\angle BCB_1=180^{\circ}$.

Угол $\angle BCB_1$ — это просто угол $\angle ACB$ треугольника (точка $B_1$ лежит на стороне $AC$). А угол $\angle AC_1B_1$ дополняет угол $\angle BC_1B_1$ до развёрнутого, ведь точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$. Значит, $\angle AC_1B_1=180^{\circ}-\angle BC_1B_1=\angle ACB$.

Итак, у треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ угол при вершине $A$ общий, а ещё $\angle AC_1B_1=\angle ACB$. По признаку подобия по двум углам треугольник $AB_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ (вершина $C_1$ соответствует вершине $C$, вершина $B_1$ — вершине $B$). Что и требовалось доказать.

Пункт б. Найдём $BC$ и радиус окружности при $\angle A=30^{\circ}$ и $B_1C_1=5$.

Обозначим коэффициент подобия $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому $\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=k^2$.

Большой треугольник состоит из маленького треугольника и четырёхугольника: $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+S_{BCB_1C_1}$. По условию площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника, то есть $S_{BCB_1C_1}=5S_{AB_1C_1}$. Тогда $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+5S_{AB_1C_1}=6S_{AB_1C_1}$.

Отсюда $k^2=\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{6}$, то есть $k=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$. Значит, $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=5\sqrt{6}$.

Теперь радиус. Обе величины $B_1C_1$ и $BC$ — хорды нашей окружности, а длину хорды удобно считать через вписанный угол, который на неё опирается: хорда равна $2R\sin(\text{вписанный угол})$. Обозначим $\varphi=\angle C_1BB_1$ — это вписанный угол, опирающийся на хорду $B_1C_1$.

Свяжем с ним вписанный угол $\angle BB_1C$, опирающийся на хорду $BC$. Точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $\angle ABB_1=\angle C_1BB_1=\varphi$. В треугольнике $ABB_1$ угол $\angle BB_1C$ — внешний при вершине $B_1$ (луч $B_1C$ продолжает луч $AB_1$), а внешний угол равен сумме двух внутренних, с ним не смежных: $\angle BB_1C=\angle A+\varphi=30^{\circ}+\varphi$.

Запишем обе хорды: $B_1C_1=2R\sin\varphi$ и $BC=2R\sin(30^{\circ}+\varphi)$. Разделим второе на первое, чтобы радиус ушёл: $\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{\sin(30^{\circ}+\varphi)}{\sin\varphi}=\sqrt{6}$.

Раскроем синус суммы: $\sin(30^{\circ}+\varphi)=\sin\varphi\cos 30^{\circ}+\cos\varphi\sin 30^{\circ}$. Делим на $\sin\varphi$ и получаем $\cos 30^{\circ}+\sin 30^{\circ}\cdot\operatorname{ctg}\varphi=\sqrt{6}$, то есть $\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\operatorname{ctg}\varphi=\sqrt{6}$.

Отсюда $\operatorname{ctg}\varphi=2\sqrt{6}-\sqrt{3}$.

Осталось перейти к радиусу: из $B_1C_1=2R\sin\varphi$ имеем $R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\varphi}=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{\sin\varphi}$. А $\dfrac{1}{\sin\varphi}=\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}$ (это основное тригонометрическое тождество, делённое на $\sin^2\varphi$).

Считаем: $\left(2\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)^2=24-2\cdot 2\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}+3=27-4\sqrt{18}=27-12\sqrt{2}$. Тогда $1+\operatorname{ctg}^2\varphi=28-12\sqrt{2}$.

Значит, $R=\dfrac{5}{2}\sqrt{28-12\sqrt{2}}=\dfrac{5}{2}\cdot 2\sqrt{7-3\sqrt{2}}=5\sqrt{7-3\sqrt{2}}$.

Проверим себя прикидкой: $3\sqrt{2}\approx 4{,}24$, поэтому $R\approx 5\sqrt{2{,}76}\approx 8{,}3$. Радиус обязан быть не меньше половины самой длинной хорды, а $\dfrac{BC}{2}=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}\approx 6{,}1$ — условие выполнено.