Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и…

Разберёмся, что нарисовано. Есть треугольник ABC. Через две его вершины, B и C, проведена окружность; она обязана пересечь стороны AB и AC ещё раз — эти вторые точки и назвали C_1 (на стороне AB) и B_1 (на стороне AC). Чертёж делается так: начертите треугольник ABC с острым углом при вершине A, отметьте точку C_1 внутри стороны AB, точку B_1 внутри стороны AC и проведите через четыре точки B, C, B_1, C_1 одну окружность. Внутри треугольника вырезается маленький треугольник AB_1C_1, а между ним и стороной BC остаётся четырёхугольник BCB_1C_1.

Пункт а. Докажем подобие треугольников ABC и AB_1C_1.

Точки B, C, B_1, C_1 лежат на одной окружности, значит, BCB_1C_1 — вписанный четырёхугольник. У вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны 180^{\circ}, поэтому \angle BC_1B_1+\angle BCB_1=180^{\circ}.

Угол \angle BCB_1 — это просто угол \angle ACB треугольника (точка B_1 лежит на стороне AC). А угол \angle AC_1B_1 дополняет угол \angle BC_1B_1 до развёрнутого, ведь точка C_1 лежит на отрезке AB. Значит, \angle AC_1B_1=180^{\circ}-\angle BC_1B_1=\angle ACB.

Итак, у треугольников AB_1C_1 и ABC угол при вершине A общий, а ещё \angle AC_1B_1=\angle ACB. По признаку подобия по двум углам треугольник AB_1C_1 подобен треугольнику ABC (вершина C_1 соответствует вершине C, вершина B_1 — вершине B). Что и требовалось доказать.

Пункт б. Найдём BC и радиус окружности при \angle A=30^{\circ} и B_1C_1=5.

Обозначим коэффициент подобия k=\dfrac{B_1C_1}{BC}. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому \dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=k^2.

Большой треугольник состоит из маленького треугольника и четырёхугольника: S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+S_{BCB_1C_1}. По условию площадь треугольника AB_1C_1 в пять раз меньше площади четырёхугольника, то есть S_{BCB_1C_1}=5S_{AB_1C_1}. Тогда S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+5S_{AB_1C_1}=6S_{AB_1C_1}.

Отсюда k^2=\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{6}, то есть k=\dfrac{1}{\sqrt{6}}. Значит, BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=5\sqrt{6}.

Теперь радиус. Обе величины B_1C_1 и BC — хорды нашей окружности, а длину хорды удобно считать через вписанный угол, который на неё опирается: хорда равна 2R\sin(\text{вписанный угол}). Обозначим \varphi=\angle C_1BB_1 — это вписанный угол, опирающийся на хорду B_1C_1.

Свяжем с ним вписанный угол \angle BB_1C, опирающийся на хорду BC. Точка C_1 лежит на отрезке AB, поэтому \angle ABB_1=\angle C_1BB_1=\varphi. В треугольнике ABB_1 угол \angle BB_1C — внешний при вершине B_1 (луч B_1C продолжает луч AB_1), а внешний угол равен сумме двух внутренних, с ним не смежных: \angle BB_1C=\angle A+\varphi=30^{\circ}+\varphi.

Запишем обе хорды: B_1C_1=2R\sin\varphi и BC=2R\sin(30^{\circ}+\varphi). Разделим второе на первое, чтобы радиус ушёл: \dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{\sin(30^{\circ}+\varphi)}{\sin\varphi}=\sqrt{6}.

Раскроем синус суммы: \sin(30^{\circ}+\varphi)=\sin\varphi\cos 30^{\circ}+\cos\varphi\sin 30^{\circ}. Делим на \sin\varphi и получаем \cos 30^{\circ}+\sin 30^{\circ}\cdot\operatorname{ctg}\varphi=\sqrt{6}, то есть \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\operatorname{ctg}\varphi=\sqrt{6}.

Отсюда \operatorname{ctg}\varphi=2\sqrt{6}-\sqrt{3}.

Осталось перейти к радиусу: из B_1C_1=2R\sin\varphi имеем R=\dfrac{B_1C_1}{2\sin\varphi}=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{\sin\varphi}. А \dfrac{1}{\sin\varphi}=\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi} (это основное тригонометрическое тождество, делённое на \sin^2\varphi).

Считаем: \left(2\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)^2=24-2\cdot 2\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}+3=27-4\sqrt{18}=27-12\sqrt{2}. Тогда 1+\operatorname{ctg}^2\varphi=28-12\sqrt{2}.

Значит, R=\dfrac{5}{2}\sqrt{28-12\sqrt{2}}=\dfrac{5}{2}\cdot 2\sqrt{7-3\sqrt{2}}=5\sqrt{7-3\sqrt{2}}.

Проверим себя прикидкой: 3\sqrt{2}\approx 4{,}24, поэтому R\approx 5\sqrt{2{,}76}\approx 8{,}3. Радиус обязан быть не меньше половины самой длинной хорды, а \dfrac{BC}{2}=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}\approx 6{,}1 — условие выполнено.