Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках C индекс 1 и B индекс 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB индекс 1 C индекс 1 . б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если угол A равно 45 в степени ° , B индекс 1 C индекс 1 равно 6 , а площадь треугольника AB индекс 1 C индекс 1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB индекс 1 C индекс 1 .

BC равно 18 ; R равно 3 корень из: начало аргумента: 20 минус 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента приблизительно равно 10, 2

Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и…

№2. Задание 17

ID: 00028790

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$ .

б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=45^{\circ}$ , $B_1C_1=6$ , а площадь треугольника $AB_1C_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Картина такая: у треугольника $ABC$ через вершины $B$ и $C$ проведена окружность, и она вторично пересекает сторону $AB$ в точке $C_1$ , а сторону $AC$ — в точке $B_1$ . Если чертежа нет, сделайте его сами: треугольник $ABC$ с острым углом $A$ , точка $C_1$ внутри стороны $AB$ , точка $B_1$ внутри стороны $AC$ , и одна окружность через $B$ , $C$ , $B_1$ , $C_1$ . Треугольник оказывается разрезан отрезком $B_1C_1$ на маленький треугольник $AB_1C_1$ и четырёхугольник $BCB_1C_1$ .

Пункт а. Докажем подобие.

Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, а у вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают $180^{\circ}$ : $\angle BC_1B_1+\angle BCB_1=180^{\circ}$ .

Точка $B_1$ лежит на стороне $AC$ , поэтому $\angle BCB_1=\angle ACB$ . Точка $C_1$ лежит на стороне $AB$ , поэтому углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle BC_1B_1$ смежные, и $\angle AC_1B_1=180^{\circ}-\angle BC_1B_1=\angle ACB$ .

У треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ угол $A$ общий и $\angle AC_1B_1=\angle ACB$ , значит, по двум углам они подобны, причём $C_1$ отвечает вершине $C$ , а $B_1$ — вершине $B$ . Доказано.

Пункт б. Вычислим $BC$ и радиус при $\angle A=45^{\circ}$ и $B_1C_1=6$ .

Пусть $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$ — коэффициент подобия. Тогда $\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=k^2$ , потому что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

Площадь всего треугольника складывается из двух кусков: $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+S_{BCB_1C_1}$ . По условию $S_{BCB_1C_1}=8S_{AB_1C_1}$ , поэтому $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+8S_{AB_1C_1}=9S_{AB_1C_1}$ .

Значит, $k^2=\dfrac{1}{9}$ и $k=\dfrac{1}{3}$ , а тогда $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=6\cdot 3=18$ .

Для радиуса используем связь хорды и вписанного угла: хорда $=2R\sin(\text{вписанный угол})$ . Обозначим $\varphi=\angle C_1BB_1$ — вписанный угол, опирающийся на хорду $B_1C_1$ .

Так как $C_1$ лежит на отрезке $AB$ , то $\angle ABB_1=\varphi$ . В треугольнике $ABB_1$ угол $\angle BB_1C$ — внешний при вершине $B_1$ , поэтому он равен сумме внутренних углов $A$ и $\angle ABB_1$ : $\angle BB_1C=45^{\circ}+\varphi$ . А этот угол — вписанный и опирается на хорду $BC$ .

Получаем $B_1C_1=2R\sin\varphi$ и $BC=2R\sin(45^{\circ}+\varphi)$ . Разделим: $\dfrac{18}{6}=\dfrac{\sin(45^{\circ}+\varphi)}{\sin\varphi}=3$ .

Разложим синус суммы и поделим на $\sin\varphi$ : $\cos 45^{\circ}+\sin 45^{\circ}\operatorname{ctg}\varphi=3$ , то есть $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\operatorname{ctg}\varphi\right)=3$ .

Отсюда $1+\operatorname{ctg}\varphi=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ , значит, $\operatorname{ctg}\varphi=3\sqrt{2}-1$ .

Радиус находим из $B_1C_1=2R\sin\varphi$ : $R=\dfrac{6}{2\sin\varphi}=3\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}$ .

Считаем квадрат: $\left(3\sqrt{2}-1\right)^2=18-6\sqrt{2}+1=19-6\sqrt{2}$ , поэтому $1+\operatorname{ctg}^2\varphi=20-6\sqrt{2}$ .

Итак, $R=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}$ .

Проверим себя: $6\sqrt{2}\approx 8{,}49$ , значит, $R\approx 3\sqrt{11{,}51}\approx 10{,}2$ . Половина наибольшей хорды равна $\dfrac{18}{2}=9$ , и радиус больше неё — противоречия нет.

Ответ

$BC=18$ ; $R=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}\approx 10{,}2$