ID: 00028790
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=45^{\circ}$, $B_1C_1=6$, а площадь треугольника $AB_1C_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Источник: ФИПИ
По условию окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а стороны $AB$ и $AC$ она пересекает ещё раз — в точках $C_1$ и $B_1$. Чертёж стройте так: треугольник $ABC$ с острым углом при $A$, точка $C_1$ на стороне $AB$, точка $B_1$ на стороне $AC$, окружность через $B$, $C$, $B_1$, $C_1$. Отрезок $B_1C_1$ отсекает треугольник $AB_1C_1$, а оставшаяся часть треугольника — четырёхугольник $BCB_1C_1$.
Пункт а. Докажем подобие треугольников.
Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность. У вписанного четырёхугольника противоположные углы дают в сумме $180^{\circ}$, поэтому $\angle BC_1B_1=180^{\circ}-\angle BCB_1$.
Точка $B_1$ лежит на стороне $AC$, поэтому $\angle BCB_1$ — это угол $\angle ACB$ самого треугольника. Точка $C_1$ лежит на стороне $AB$, поэтому углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle BC_1B_1$ смежные: $\angle AC_1B_1=180^{\circ}-\angle BC_1B_1=\angle ACB$.
Значит, в треугольниках $AB_1C_1$ и $ABC$ угол $A$ общий, а углы при вершинах $C_1$ и $C$ равны. По признаку подобия по двум углам треугольник $AB_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$. Доказано.
Пункт б. Вычислим $BC$ и радиус при $\angle A=45^{\circ}$, $B_1C_1=6$.
Обозначим коэффициент подобия $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $S_{AB_1C_1}=k^2\,S_{ABC}$.
По условию площадь четырёхугольника в восемь раз больше площади треугольника $AB_1C_1$, а вместе они составляют весь треугольник: $S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+8S_{AB_1C_1}=9S_{AB_1C_1}$.
Отсюда $k^2=\dfrac19$, то есть $k=\dfrac13$, и $BC=3\cdot B_1C_1=3\cdot 6=18$.
Теперь радиус. Здесь удобно поработать с дугами. Точка $A$ лежит вне окружности, а прямые $AB$ и $AC$ — секущие: каждая пересекает окружность в двух точках ($C_1$ и $B$; $B_1$ и $C$). Для угла между двумя секущими, проведёнными из внешней точки, есть правило: он равен полуразности двух дуг, заключённых между секущими. У нас это дуги $BC$ (дальняя) и $B_1C_1$ (ближняя).
Обозначим половину дуговой меры так, чтобы сразу пользоваться вписанными углами: пусть вписанный угол, опирающийся на хорду $B_1C_1$, равен $\varphi$, а вписанный угол, опирающийся на хорду $BC$, равен $\psi$. Тогда дуги равны $2\varphi$ и $2\psi$, и правило о секущих даёт $\angle A=\dfrac{2\psi-2\varphi}{2}=\psi-\varphi$, то есть $\psi=\varphi+45^{\circ}$.
Хорда окружности выражается через опирающийся на неё вписанный угол так: хорда $=2R\sin(\text{этот угол})$. Значит, $B_1C_1=2R\sin\varphi$ и $BC=2R\sin\left(\varphi+45^{\circ}\right)$.
Разделим второе равенство на первое, чтобы избавиться от $R$: $\dfrac{18}{6}=3=\dfrac{\sin\left(\varphi+45^{\circ}\right)}{\sin\varphi}$.
Раскроем синус суммы: $\sin\left(\varphi+45^{\circ}\right)=\sin\varphi\cos 45^{\circ}+\cos\varphi\sin 45^{\circ}$. Поделив на $\sin\varphi$, получаем $\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{ctg}\varphi=3$.
Умножим обе части на $\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$: $1+\operatorname{ctg}\varphi=3\sqrt{2}$, откуда $\operatorname{ctg}\varphi=3\sqrt{2}-1$.
Из равенства $B_1C_1=2R\sin\varphi$ находим $R=\dfrac{6}{2\sin\varphi}=3\cdot\dfrac{1}{\sin\varphi}=3\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}$.
Подсчитаем: $\left(3\sqrt{2}-1\right)^2=18-6\sqrt{2}+1=19-6\sqrt{2}$, значит, $1+\operatorname{ctg}^2\varphi=20-6\sqrt{2}$ и $R=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}$.
Прикинем величину: $6\sqrt{2}\approx 8{,}49$, поэтому $R\approx 3\sqrt{11{,}51}\approx 10{,}2$. Это больше половины хорды $BC$, равной $9$, — значит, ответ правдоподобен.
$BC=18$; $R=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}\approx 10{,}2$