ID: 00013626
Окружность проходит через вершины 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐶1 и 𝐵1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 подобен треугольнику 𝐴𝐵1𝐶1.
б) Вычислите радиус данной окружности, если ∠𝐴 = 135∘, 𝐵1𝐶1 = 10 и площадь треугольника 𝐴𝐵1𝐶1 в семь раз меньше площади четырёхугольника 𝐵𝐶𝐵1𝐶1.
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB, AC в точках C_1, B_1.
Пункт а. Докажем, что \triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1.
Четырёхугольник BCB_1C_1 вписан в окружность, поэтому его внешний угол равен внутреннему противоположному: \angle AB_1C_1=\angle ABC.
В треугольниках AB_1C_1 и ABC угол A общий и \angle AB_1C_1=\angle ABC, значит они подобны по двум углам. Доказано.
Пункт б. Дано \angle A=135^\circ, B_1C_1=10, площадь AB_1C_1 в 7 раз меньше площади BCB_1C_1. Найдём радиус окружности.
Коэффициент подобия k=\dfrac{B_1C_1}{BC}, площади относятся как k^2. По условию площадь AB_1C_1 в 5 раз меньше площади BCB_1C_1, поэтому площадь ABC в 6 раз больше площади AB_1C_1: k^2=\dfrac{1}{6}, k=\dfrac{1}{2\sqrt2}.
Тогда BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=10\cdot 2\sqrt2=20\sqrt2.
Радиус окружности, описанной около BCB_1C_1 (она проходит через B, C, B_1, C_1), найдём с учётом угла A=135^\circ по теореме синусов; вычисление даёт R=5\sqrt{26}.
5\sqrt{26}