Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013722

Произведение $\sqrt{7x-4}\cdot\ln(\dots)=0$ равно нулю, когда обнуляется корень или логарифм. Цель — ровно один корень на отрезке $[0;4]$.

ОДЗ: под корнем $7x-4\ge0$, под логарифмом $x^2-8x+17-a^2\gt 0$.

Первый корень — обнуление корня: $7x-4=0$, то есть $x=\dfrac47$. Он годится, только если логарифм там определён. Подставим: $\left(\dfrac47\right)^2-8\cdot\dfrac47+17-a^2=\dfrac{625}{49}-a^2\gt 0$, то есть при $|a|\lt \dfrac{25}{7}$.

Второй и третий корни — обнуление логарифма: $\ln(\dots)=0$ означает $x^2-8x+17-a^2=1$, то есть $(x-4)^2=a^2$, откуда $x=4\pm a$.

Проверяем, когда $x=4\pm a$ попадают на отрезок $[0;4]$ и в зону $x\ge\dfrac47$: корень $x=4+a$ годится при $-\dfrac{24}{7}\le a\le0$, а $x=4-a$ — при $0\le a\le\dfrac{24}{7}$.

Теперь главный фокус. Заметим: пока $|a|\lt \dfrac{24}{7}$, на отрезке всегда есть и корень $x=\dfrac47$, и один из корней $4\pm a$ — то есть ДВА корня. Ровно один остаётся лишь в узкой «вилке» $\dfrac{24}{7}\le|a|\lt \dfrac{25}{7}$: там корень $4\mp a$ уже вышел за отрезок (или слился с $\dfrac47$ при $|a|=\dfrac{24}{7}$), а $x=\dfrac47$ ещё жив (это работает, пока $|a|\lt \dfrac{25}{7}$).

Получаем две симметричные узкие зоны: $\left(-\dfrac{25}{7};-\dfrac{24}{7}\right]\cup\left[\dfrac{24}{7};\dfrac{25}{7}\right)$.