ID: 00013663
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB = 45^\circ, AB = 2\sqrt{3}, CC_1 = 2\sqrt{6}.
а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^\circ.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC_1.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как AC — диаметр основания, вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр, прямой: \angle ABC=90^\circ, поэтому AB\perp BC.
Введём координаты: центр нижнего основания O=(0;0;0), ось цилиндра вдоль Oz. Тогда A=(-R;0;0), C=(R;0;0) (AC — диаметр), R=\dfrac{AB}{2\sin 45^\circ}, а образующая даёт C_1=(R;0;4.89898).
Точку B берём на окружности так, что \angle ACB=45^\circ. Косинус угла между прямыми AC_1 и BC равен \dfrac{|\vec{AC_1}\cdot\vec{BC}|}{|\vec{AC_1}|\,|\vec{BC}|}=\cos 60^\circ, то есть искомый угол равен 60^\circ. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: O=(0;0;0), A=(-R;0;0), C=(R;0;0) с R=\dfrac{AB}{2\sin 45^\circ}; C_1=(R;0;4.89898).
Точку B на окружности найдём по \angle ACB=45^\circ; расстояние от B до прямой AC_1 равно 3.
Ответ: 3.
3