ID: 00013658
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O – центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении SN : ND = 1:3.
а) Докажите, что точка M – середина ребра SC.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём точку $O$ — центр основания. Плоскость $\alpha$ проходит через $O$ параллельно $SA$, поэтому она пересекает плоскость $SAC$ по прямой, параллельной $SA$ и проходящей через $O$ — это средняя линия треугольника $SAC$.
Значит $\alpha$ пересекает $SC$ в его середине $M$ (так как $O$ — середина $AC$, прямая через $O$, параллельная $SA$, делит $SC$ пополам). Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: $O=(0;0;0)$, основание — квадрат со стороной $a=4$, $S=(0;0;2.828)$ (высоту $H$ $=2\sqrt2$ (все рёбра равны 4)).
Точка $N$ на $SD$ с $SN:ND=1:3$ и середина $M$ ребра $SC$ задают плоскость $\alpha\parallel SA$.
Длина отрезка, по которому $\alpha$ пересекает грань $SBC$, равна $\sqrt3$ (находим как хорду сечения в этой грани).
$\sqrt{3}$