Задание 15 ЕГЭ по математике №00013651

Пункт а (доказательство).

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна грани $ABB_1A_1$ и проходит через $M\in AA_1$ и $K$ — середину $A_1B_1$.

Опустим из $C_1$ перпендикуляр на грань $ABB_1A_1$ — его основание лежит на средней линии (так как $\triangle A_1B_1C_1$ правильный, проекция $C_1$ — середина $A_1B_1$, то есть точка $K$). Значит прямая $C_1K\perp ABB_1A_1$, поэтому $C_1$ лежит в плоскости $\alpha$, проходящей через $K$ перпендикулярно этой грани. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Введём координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(12;0;0)$, $C=(6;10.39;0)$ и соответствующие $A_1,B_1,C_1$ выше на $12$.

Точка $M$ на $AA_1$ ($AM=\tfrac{1}{3}$ ребра при $A_1M=2AM$), $K$ — середина $A_1B_1$, $C_1$ — вершина. Сечение $\alpha$ — треугольник $MKC_1$ (точнее, проходящий через эти точки).

Площадь сечения равна $6\sqrt{30}$.