Задание 15 ЕГЭ по математике №00043693

Основание — квадрат со стороной $2\sqrt6$, высота призмы $2\sqrt7$. План: доказать, что $CA_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $\alpha$, затем записать уравнение $\alpha$ с нормалью $\overrightarrow{CA_1}$, найти сечение и объём пирамиды $\dfrac13\cdot S\cdot h$.

Пункт а. Прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$: она перпендикулярна диагонали $AC$ (диагонали квадрата перпендикулярны) и боковому ребру $AA_1$ (оно перпендикулярно основанию). Значит, $BD\perp CA_1$. Плоскость $\alpha$ параллельна $BD$, поэтому содержит прямую $\ell\parallel BD$ через точку $N$, и $\ell\perp CA_1$.

Координаты: начало в $A$, оси по $AB$, $AD$, $AA_1$. $C(2\sqrt6;2\sqrt6;0)$, $A_1(0;0;2\sqrt7)$, $N(\sqrt6;0;0)$. Точка $K$: $C_1K:KD_1=1:2$, то есть $K$ ближе к $C_1$ и отстоит от него на треть ребра: абсцисса $2\sqrt6-\dfrac{2\sqrt6}{3}=\dfrac{4\sqrt6}{3}$, $K\left(\dfrac{4\sqrt6}{3};2\sqrt6;2\sqrt7\right)$.

$$\overrightarrow{CA_1}=(-2\sqrt6;-2\sqrt6;2\sqrt7),\qquad\overrightarrow{NK}=\left(\dfrac{\sqrt6}{3};2\sqrt6;2\sqrt7\right).$$

$$\overrightarrow{CA_1}\cdot\overrightarrow{NK}=-2\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt6}{3}-2\sqrt6\cdot2\sqrt6+2\sqrt7\cdot2\sqrt7=-4-24+28=0.$$

Прямые $\ell$ и $NK$ лежат в $\alpha$ и пересекаются в $N$; $CA_1$ перпендикулярна обеим, значит, $CA_1\perp\alpha$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. После пункта а нормалью $\alpha$ можно взять $\vec n=(\sqrt6;\sqrt6;-\sqrt7)$. Подставляем точку $N$, чтобы найти свободный член:

$$\sqrt6x+\sqrt6y-\sqrt7z-6=0.$$

Проверка точкой $K$: $\sqrt6\cdot\dfrac{4\sqrt6}{3}+\sqrt6\cdot2\sqrt6-\sqrt7\cdot2\sqrt7-6=8+12-14-6=0$.

Форма сечения. Подставляем точки боковых рёбер $(x_0;y_0;z)$ и решаем относительно $z$. Ребро $BB_1$: $12-\sqrt7z-6=0$, $z=\dfrac{6}{\sqrt7}\approx2{,}27$ — меньше высоты $2\sqrt7\approx5{,}29$, пересечение есть; $DD_1$ — так же. Ребро $CC_1$: $24-6=\sqrt7z$, $z=\dfrac{18}{\sqrt7}\approx6{,}8$ — выше призмы; $AA_1$: $z\lt0$. Нижнее основание: $x+y=\sqrt6$ — отрезок от $N$ до середины $M$ ребра $AD$. Верхнее: $\sqrt6(x+y)=20$, $x+y=\dfrac{10\sqrt6}{3}$ — отрезок от $K$ до точки $L\left(2\sqrt6;\dfrac{4\sqrt6}{3};2\sqrt7\right)$ на $B_1C_1$. Сечение — шестиугольник.

Площадь проекции на основание: квадрат площади $24$ без треугольника у $A$ (катеты $\sqrt6$, площадь $3$) и треугольника у $C$ (катеты $2\sqrt6-\dfrac{4\sqrt6}{3}=\dfrac{2\sqrt6}{3}$, площадь $\dfrac12\cdot\dfrac{24}{9}=\dfrac43$):

$$S_{\text{пр}}=24-3-\dfrac43=\dfrac{59}{3}.$$

$|\vec n|=\sqrt{6+6+7}=\sqrt{19}$, косинус угла между $\alpha$ и основанием $\dfrac{\sqrt7}{\sqrt{19}}$, площадь сечения $S=\dfrac{59}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt7}$.

Высота — расстояние от $C$ до $\alpha$: $d=\dfrac{|12+12-6|}{\sqrt{19}}=\dfrac{18}{\sqrt{19}}$.

$$V=\dfrac13\cdot\dfrac{59\sqrt{19}}{3\sqrt7}\cdot\dfrac{18}{\sqrt{19}}=\dfrac{59\cdot18}{9\sqrt7}=\dfrac{118}{\sqrt7}=\dfrac{118\sqrt7}{7}.$$

Проверим $d$ через долю отрезка $CA_1$: $|CA_1|=\sqrt{24+24+28}=2\sqrt{19}$; точка $C+\lambda\overrightarrow{CA_1}$ лежит в $\alpha$ при $24-24\lambda-14\lambda-6=0$, $\lambda=\dfrac{18}{38}=\dfrac{9}{19}$; расстояние $\dfrac{9}{19}\cdot2\sqrt{19}=\dfrac{18}{\sqrt{19}}$. Совпало.