Задание 15 ЕГЭ по математике №00042125

Призма правильная: основания — равносторонние треугольники со стороной $a$, боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны $h$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. $AM=BK=\dfrac h2$ и $AM\parallel BK$, поэтому $ABKM$ — параллелограмм, и $MK\parallel AB$, $MK=AB=a$.

Шаг 2. $MK\parallel AB\parallel A_1B_1$, значит, $MK$ параллельна плоскости верхнего основания. Плоскость $MNK$ проходит через $MK$ и точку $N$ верхнего основания, поэтому пересекает его по прямой, проходящей через $N$ параллельно $A_1B_1$. Эта прямая пересекает ребро $B_1C_1$ в точке $P$, и $NP$ — средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$: $P$ — середина $B_1C_1$, $NP=\dfrac a2$.

Шаг 3. В четырёхугольнике $MNPK$ стороны $MK$ и $NP$ параллельны и не равны ($a\ne\dfrac a2$), значит, это трапеция.

Шаг 4. Боковые стороны. Треугольник $MA_1N$ прямоугольный (угол $A_1$ прямой, так как $AA_1$ перпендикулярно основанию): $MN^2=\left(\dfrac h2\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2$. Так же из прямоугольного треугольника $KB_1P$: $KP^2=\left(\dfrac h2\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2$. Значит, $MN=KP$, и трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление). Здесь $a=h=6$, площадь основания $S=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot6^2=9\sqrt3$.

Шаг 1. Разобьём основание $MNPK$ пирамиды диагональю $MP$. Пирамида $A_1MNPK$ распадается на тетраэдры $MA_1NP$ и $PA_1MK$.

Шаг 2. Тетраэдр $MA_1NP$: основание — треугольник $A_1NP$ в верхней грани, высота — расстояние от $M$ до верхнего основания, $MA_1=3$. Треугольник $A_1NP$: $A_1N=\dfrac12A_1C_1$, а высота из $P$ на $A_1C_1$ вдвое меньше высоты из $B_1$, поэтому $S_{A_1NP}=\dfrac14S=\dfrac{9\sqrt3}{4}$.

$$V_1=\dfrac13\cdot\dfrac{9\sqrt3}{4}\cdot3=\dfrac{9\sqrt3}{4}.$$

Шаг 3. Тетраэдр $PA_1MK$: основание — треугольник $A_1MK$ в боковой грани $ABB_1A_1$, высота — расстояние от $P$ до этой грани. Треугольник $A_1MK$: основание $MK=6$, высота из $A_1$ на прямую $MK$ равна $A_1M=3$ (так как $A_1M\perp MK$), $S_{A_1MK}=\dfrac12\cdot6\cdot3=9$.

Расстояние от $C_1$ до грани $ABB_1A_1$ равно высоте основания $\dfrac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3$, а $P$ — середина $B_1C_1$, поэтому её расстояние до грани вдвое меньше: $\dfrac{3\sqrt3}{2}$.

$$V_2=\dfrac13\cdot9\cdot\dfrac{3\sqrt3}{2}=\dfrac{9\sqrt3}{2}.$$

Шаг 4. Сложим:

$$V_{A_1MNPK}=\dfrac{9\sqrt3}{4}+\dfrac{9\sqrt3}{2}=\dfrac{27\sqrt3}{4}.$$

Проверим себя общей формулой: $V_1=\dfrac13\cdot\dfrac S4\cdot\dfrac h2=\dfrac{Sh}{24}$, $V_2=\dfrac13\cdot\dfrac{ah}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{4}=\dfrac{Sh}{12}$, сумма $\dfrac{Sh}{8}$ — восьмая часть объёма призмы. $\dfrac{9\sqrt3\cdot6}{8}=\dfrac{27\sqrt3}{4}$. Совпало.