Задание 15 ЕГЭ по математике №00043709

Призма прямая, верхнее и нижнее основания параллельны. Плоскость трапеции $AMKN$ пересекает их по отрезкам $AN$ (внизу) и $MK$ (вверху), поэтому $AN\parallel MK$ — это и есть основания трапеции.

Пункт а. Рассмотрим треугольники $MB_1K$ и $ABN$. Их стороны попарно параллельны: $B_1M\parallel BA$, $B_1K\parallel BN$ (рёбра верхнего и нижнего оснований), $MK\parallel AN$. Значит, треугольники подобны, и

$$k=\dfrac{MK}{AN}=\dfrac{B_1K}{BN}=\dfrac{B_1M}{BA}.$$

Точка $M$ лежит на ребре $A_1B_1$, поэтому $B_1M\le B_1A_1=BA$, то есть $k\le1$ и $MK\le AN$. Основания трапеции разные, значит, $MK=2$, $AN=4$, $k=\dfrac12$.

Тогда $BN=\dfrac{B_1K}{k}=2B_1K$. По условию $B_1K:KC_1=1:3$, то есть $B_1K=\dfrac14B_1C_1=\dfrac14BC$. Получаем $BN=\dfrac12BC$: $N$ — середина $BC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Обозначим $AB=x$, $BC=y$, $\angle ABC=\beta$, высота призмы $h=3$.

Равнобедренность даёт связь сторон. Боковая сторона $AM$: точка $M$ лежит на $A_1B_1$, и $AA_1\perp A_1B_1$, поэтому $AM^2=h^2+A_1M^2$. Из пункта а $B_1M=\dfrac12BA$, значит, $A_1M=\dfrac x2$.

Боковая сторона $KN$: опустим из $K$ перпендикуляр $KK'$ на основание, $K'$ лежит на $BC$ и $BK'=B_1K=\dfrac y4$. Тогда $K'N=BN-BK'=\dfrac y2-\dfrac y4=\dfrac y4$ и $KN^2=h^2+\left(\dfrac y4\right)^2$.

$AM=KN$ даёт $\dfrac x2=\dfrac y4$, то есть $y=2x$. Тогда $BN=\dfrac y2=x=AB$ — треугольник $ABN$ равнобедренный.

Находим $x$. Площадь основания: $S=\dfrac{V}{h}=\dfrac{24}{3}=8$, и $S=xy\sin\beta=2x^2\sin\beta$, откуда $x^2\sin\beta=4$.

По теореме косинусов в треугольнике $ABN$: $AN^2=x^2+x^2-2x^2\cos\beta=2x^2(1-\cos\beta)=16$, откуда $x^2(1-\cos\beta)=8$.

Обозначим $r=x^2$: $\cos\beta=1-\dfrac8r$, $\sin\beta=\dfrac4r$. Подставим в $\sin^2\beta+\cos^2\beta=1$:

$$\dfrac{16}{r^2}+1-\dfrac{16}{r}+\dfrac{64}{r^2}=1\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{80}{r^2}=\dfrac{16}{r}\ \Longleftrightarrow\ r=5.$$

Высота трапеции. Боковая сторона: $AM^2=9+\dfrac{x^2}{4}=9+\dfrac54=\dfrac{41}{4}$. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на основание равна полуразности оснований: $\dfrac{4-2}{2}=1$. Высота:

$$H=\sqrt{\dfrac{41}{4}-1}=\sqrt{\dfrac{37}{4}}=\dfrac{\sqrt{37}}{2}.$$

Площадь трапеции:

$$S_{AMKN}=\dfrac{2+4}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{37}}{2}=\dfrac{3\sqrt{37}}{2}.$$

Проверим себя: при $r=5$ получаем $\sin\beta=0{,}8$, $\cos\beta=-0{,}6$, и $2x^2(1-\cos\beta)=10\cdot1{,}6=16=AN^2$, $2x^2\sin\beta=10\cdot0{,}8=8=S$ — оба условия выполнены.