Задание 15 ЕГЭ по математике №00043710

Плоскость $AMKN$ пересекает нижнее основание по $AN$, а верхнее — по $MK$. Основания призмы параллельны, поэтому $AN\parallel MK$.

Пункт а. Введём векторы $\vec a=\overrightarrow{BA}$, $\vec c=\overrightarrow{BC}$ и вертикальный $\vec h=\overrightarrow{BB_1}$. Пусть $BN=t\cdot BC$, $B_1M=s\cdot B_1A_1$, где $0\lt t\le1$, $0\le s\le1$. По условию $B_1K=\dfrac25B_1C_1$.

$$\overrightarrow{AN}=t\vec c-\vec a,\qquad \overrightarrow{MK}=\dfrac25\vec c-s\vec a.$$

Векторы $\vec a$ и $\vec c$ не коллинеарны, поэтому параллельность $AN$ и $MK$ означает пропорциональность коэффициентов: $\dfrac{2/5}{t}=\dfrac{s}{1}$, то есть $s=\dfrac{2}{5t}$, и тогда $\overrightarrow{MK}=s\cdot\overrightarrow{AN}$, $\dfrac{MK}{AN}=s$.

Так как $s\le1$, то $MK\le AN$, и при разных основаниях $MK=4$, $AN=5$, $s=\dfrac45$. Отсюда $t=\dfrac{2}{5s}=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac54=\dfrac12$: $N$ — середина $BC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Пусть $AB=x$, $BC=y$, $\angle ABC=\beta$, высота $h=2$.

Равнобедренность. $AM^2=h^2+A_1M^2$, где $A_1M=(1-s)\cdot AB=\dfrac x5$. Для $KN$: проекция $K'$ точки $K$ на основание лежит на $BC$, $BK'=\dfrac25y$, $K'N=\dfrac y2-\dfrac{2y}{5}=\dfrac{y}{10}$, $KN^2=h^2+\left(\dfrac{y}{10}\right)^2$.

$AM=KN$ даёт $\dfrac x5=\dfrac{y}{10}$, то есть $y=2x$, и $BN=x=AB$.

Уравнения. Площадь основания $\dfrac{20}{2}=10=2x^2\sin\beta$, откуда $x^2\sin\beta=5$. Теорема косинусов в треугольнике $ABN$ с равными сторонами $x$: $AN^2=2x^2(1-\cos\beta)=25$, откуда $x^2(1-\cos\beta)=12{,}5$.

Пусть $r=x^2$: $\sin\beta=\dfrac5r$, $\cos\beta=1-\dfrac{12{,}5}{r}$. Из $\sin^2\beta+\cos^2\beta=1$:

$$\dfrac{25}{r^2}-\dfrac{25}{r}+\dfrac{156{,}25}{r^2}=0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{181{,}25}{r}=25\ \Longleftrightarrow\ r=7{,}25.$$

Высота трапеции. $AM^2=4+\dfrac{r}{25}=4+0{,}29=4{,}29$. Полуразность оснований $\dfrac{5-4}{2}=0{,}5$. Высота:

$$H^2=4{,}29-0{,}25=4{,}04=\dfrac{101}{25},\qquad H=\dfrac{\sqrt{101}}{5}.$$

Площадь:

$$S_{AMKN}=\dfrac{4+5}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{101}}{5}=\dfrac{9\sqrt{101}}{10}.$$

Проверим себя: $\sin\beta=\dfrac{5}{7{,}25}=\dfrac{20}{29}$, $\cos\beta=1-\dfrac{12{,}5}{7{,}25}=-\dfrac{21}{29}$; $20^2+21^2=841=29^2$ — тождество выполнено.