Задание 15 ЕГЭ по математике №00043714

Плоскость $\alpha$ проходит через $K$ и $C$ параллельно $TA_1$. Найдём, где она пересекает плоскость грани $AA_1B_1B$, в которой лежит $TA_1$.

Обозначим сторону основания $a$, высоту $h$.

Пункт а. В плоскости грани $AA_1C_1C$ продолжим $CK$ до пересечения с прямой $AA_1$ в точке $R$. $A_1K\parallel AC$ и $A_1K=\dfrac12AC$, поэтому $A_1K$ — средняя линия треугольника $RAC$: $A_1$ — середина $RA$.

$R$ лежит и в $\alpha$, и в плоскости $AA_1B_1B$. Так как $\alpha\parallel TA_1$, плоскость $\alpha$ пересекает эту грань по прямой через $R$, параллельной $TA_1$; пусть она встречает прямую $AB$ в точке $X$.

В треугольнике $RAX$ отрезок $A_1T$ параллелен $RX$ и проходит через середину $RA$ — значит, это средняя линия, и $T$ — середина $AX$. $AX=2AT=\dfrac{2a}{3}$, $XB=\dfrac a3$, то есть $AX:XB=2:1$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $a=6\sqrt7$, $h=3$. Сечение: в нижнем основании — отрезок $CX$; в грани $AA_1B_1B$ прямая $RX$ пересекает $A_1B_1$ в середине $Y$ отрезка $RX$, $A_1Y=\dfrac12AX=2\sqrt7$; в верхнем основании — отрезок $YK$, параллельный $CX$. Сечение — трапеция $CXYK$.

Найдём все четыре стороны.

$CX$: в треугольнике $ACX$ $AC=6\sqrt7$, $AX=4\sqrt7$, $\angle A=60^\circ$:

$$CX^2=252+112-2\cdot6\sqrt7\cdot4\sqrt7\cdot\dfrac12=364-168=196,\qquad CX=14.$$

$YK$: в треугольнике $A_1YK$ $A_1Y=2\sqrt7$, $A_1K=3\sqrt7$, угол $60^\circ$:

$$YK^2=28+63-2\cdot2\sqrt7\cdot3\sqrt7\cdot\dfrac12=91-42=49,\qquad YK=7.$$

$XY$: точка $X$ внизу, $Y$ вверху; проекция $Y$ на основание лежит на $AB$ на расстоянии $2\sqrt7$ от $A$, то есть на расстоянии $4\sqrt7-2\sqrt7=2\sqrt7$ от $X$. $XY^2=(2\sqrt7)^2+3^2=37$.

$KC$: проекция $K$ — середина $AC$, до $C$ расстояние $3\sqrt7$. $KC^2=63+9=72$.

Высота трапеции. Опустим высоты из концов короткого основания $YK$ на $CX$. Они отрежут от $CX$ куски $p$ (у $X$) и $q$ (у $C$), $p+q=14-7=7$, и

$$H^2=37-p^2=72-q^2\ \Longrightarrow\ q^2-p^2=35\ \Longrightarrow\ (q-p)\cdot7=35,\ q-p=5.$$

Отсюда $q=6$, $p=1$, $H^2=37-1=36$, $H=6$.

$$S_{CXYK}=\dfrac{14+7}{2}\cdot6=63.$$

Проверим себя через точку $R$: $RA=2h=6$. Расстояние от $A$ до $CX$ в основании: $\dfrac{2S_{ACX}}{CX}=\dfrac{2\cdot\frac12\cdot6\sqrt7\cdot4\sqrt7\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{14}=6\sqrt3$; высота треугольника $RCX$ равна $\sqrt{36+108}=12$, его площадь $84$, а трапеция — это $\dfrac34$ от неё: $63$. Совпало.