Задание 15 ЕГЭ по математике №00042126

Пусть сторона основания равна $a$, высота призмы — $h$. Призма правильная: основания — равносторонние треугольники, боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Отметим середину $P$ ребра $B_1C_1$ и докажем, что она лежит в плоскости $MNK$. Отрезок $NP$ соединяет середины сторон $A_1C_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$, значит, это средняя линия: $NP\parallel A_1B_1$, $NP=\dfrac a2$.

Шаг 2. $AM=BK$ и $AM\parallel BK$, поэтому $ABKM$ — параллелограмм: $MK\parallel AB\parallel A_1B_1$, $MK=a$.

Шаг 3. Прямые $NP$ и $MK$ обе параллельны $A_1B_1$, значит, параллельны друг другу, и через них проходит одна плоскость — плоскость $MNK$. Итак, $P$ лежит в этой плоскости, а сечение призмы — четырёхугольник $MNPK$ (в остальных гранях плоскость проходит по отрезкам $MN$, $PK$ и $MK$).

Шаг 4. В $MNPK$ стороны $NP$ и $MK$ параллельны, но $NP=\dfrac a2\ne a=MK$, поэтому это трапеция. Прямоугольные треугольники $MA_1N$ и $KB_1P$ равны по двум катетам ($MA_1=KB_1=\dfrac h2$, $A_1N=B_1P=\dfrac a2$), значит, $MN=KP$, и трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление). Здесь $a=4$, $h=5$, площадь основания $S=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot4^2=4\sqrt3$.

Шаг 1. Разрежем основание $MNPK$ диагональю $NK$: пирамида $A_1MNPK$ распадается на тетраэдры $NA_1MK$ и $KA_1NP$.

Шаг 2. Тетраэдр $NA_1MK$. Его грань $A_1MK$ лежит в боковой грани $ABB_1A_1$. В треугольнике $A_1MK$ основание $MK=4$, а высота из $A_1$ — это $A_1M=\dfrac52$ (ведь $A_1M\perp MK$):

$$S_{A_1MK}=\dfrac12\cdot4\cdot\dfrac52=5.$$

Расстояние от $C_1$ до грани $ABB_1A_1$ равно высоте равностороннего треугольника: $\dfrac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3$. Точка $N$ — середина $A_1C_1$, поэтому её расстояние до этой грани вдвое меньше, $\sqrt3$.

$$V_1=\dfrac13\cdot5\cdot\sqrt3=\dfrac{5\sqrt3}{3}.$$

Шаг 3. Тетраэдр $KA_1NP$. Его грань $A_1NP$ лежит в верхнем основании. Треугольники $C_1NP$ и $C_1A_1B_1$ подобны с коэффициентом $\dfrac12$, а треугольник $A_1NP$ по площади равен $C_1NP$ (общая высота из $P$, равные основания $A_1N=NC_1$). Поэтому $S_{A_1NP}=\dfrac14S=\sqrt3$. Высота — расстояние от $K$ до верхнего основания, $KB_1=\dfrac52$:

$$V_2=\dfrac13\cdot\sqrt3\cdot\dfrac52=\dfrac{5\sqrt3}{6}.$$

Шаг 4. Сложим:

$$V_{A_1MNPK}=\dfrac{5\sqrt3}{3}+\dfrac{5\sqrt3}{6}=\dfrac{10\sqrt3+5\sqrt3}{6}=\dfrac{5\sqrt3}{2}.$$

Проверим себя: в общем виде $V_1=\dfrac{Sh}{12}$ и $V_2=\dfrac{Sh}{24}$, то есть пирамида составляет $\dfrac18$ объёма призмы: $\dfrac{4\sqrt3\cdot5}{8}=\dfrac{5\sqrt3}{2}$. Совпало.