Задание 15 ЕГЭ по математике №00013649

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения призм

№2. Задание 15

ID: 00013649

В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 лежит равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵. Точка 𝑃 делит ребро 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑃 : 𝑃𝐵 = 1 : 3, а точка 𝑄 – середина ребра 𝐴1𝐶1. Через середину 𝑀 ребра 𝐵𝐶 провели плоскость 𝛼, перпендикулярную отрезку 𝑃𝑄.

a) Докажите, что плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴𝐶 пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴1𝐶1, считая от точки 𝐴1, если известно, что 𝐴𝐵= 𝐴𝐴1, 𝐴𝐵 : 𝐵𝐶 = 2 : 5.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты ( $$AB=AA_1=2$$ , $$BC=AC=5$$ , основание — равнобедренный треугольник с основанием $$AB$$ ).

Плоскость $\alpha$ с нормалью $\vec{PQ}$ проходит через середину $$M$$ ребра $$BC$$ . Подстановка показывает, что середина $$AC$$ лежит в $\alpha$ , то есть $\alpha$ делит $$AC$$ пополам. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Вычисляем точку пересечения $\alpha$ с ребром $$A_1C_1$$ : она делит его как $$A_1X:XC_1=1:5$$ (считая от $$A_1$$ ).

Ответ

$$1:5$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Сечения призм» (8)