ID: 00013649
В основании прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 лежит равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵. Точка 𝑃 делит ребро 𝐴𝐵 в отношении 𝐴𝑃 : 𝑃𝐵 = 1 : 3, а точка 𝑄 – середина ребра 𝐴1𝐶1. Через середину 𝑀 ребра 𝐵𝐶 провели плоскость 𝛼, перпендикулярную отрезку 𝑃𝑄.
a) Докажите, что плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴𝐶 пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость 𝛼 делит ребро 𝐴1𝐶1, считая от точки 𝐴1, если известно, что 𝐴𝐵= 𝐴𝐴1, 𝐴𝐵 : 𝐵𝐶 = 2 : 5.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты ($AB=AA_1=2$, $BC=AC=5$, основание — равнобедренный треугольник с основанием $AB$).
Плоскость $\alpha$ с нормалью $\vec{PQ}$ проходит через середину $M$ ребра $BC$. Подстановка показывает, что середина $AC$ лежит в $\alpha$, то есть $\alpha$ делит $AC$ пополам. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Вычисляем точку пересечения $\alpha$ с ребром $A_1C_1$: она делит его как $A_1X:XC_1=1:5$ (считая от $A_1$).
$1:5$