ID: 00013627
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝐴1, 𝐵1 и 𝐶1 – середины сторон 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 соответственно, 𝐴𝐻 – высота, ∠𝐵𝐴𝐶 = 60°, ∠𝐵𝐶𝐴= 45°.
а) Докажите, что точки 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 и 𝐻 лежат на одной окружности.
б) Найдите 𝐴1𝐻, если BC=2√3.
Источник: ФИПИ
В треугольнике ABC точки A_1, B_1, C_1 — середины сторон BC, AC, AB; AH — высота; \angle BAC=60^\circ, \angle BCA=45^\circ.
Пункт а. Докажем, что A_1, B_1, C_1, H лежат на одной окружности.
Середины сторон A_1, B_1, C_1 и основания высот треугольника лежат на одной окружности — это известная окружность девяти точек.
Точка H — основание высоты из A, поэтому она тоже принадлежит этой окружности. Значит, четыре точки A_1, B_1, C_1, H концикличны. Доказано.
Пункт б. Найдём A_1H, если BC=2\sqrt3.
A_1 — середина BC, H — основание высоты из A на BC. Расстояние между ними: A_1H=\left|\dfrac{BC}{2}-BH\right|, где BH=AB\cos\angle B (проекция AB на BC).
Угол \angle B=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ. По теореме синусов AB=BC\cdot\dfrac{\sin\angle C}{\sin\angle A}=BC\cdot\dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}.
Подставив BC=2\sqrt3 и вычислив, получаем A_1H=1.
1