Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и…

По условию окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC, а стороны AB и AC она пересекает ещё раз — в точках C_1 и B_1. Чертёж стройте так: треугольник ABC с острым углом при A, точка C_1 на стороне AB, точка B_1 на стороне AC, окружность через B, C, B_1, C_1. Отрезок B_1C_1 отсекает треугольник AB_1C_1, а оставшаяся часть треугольника — четырёхугольник BCB_1C_1.

Пункт а. Докажем подобие треугольников.

Четырёхугольник BCB_1C_1 вписан в окружность. У вписанного четырёхугольника противоположные углы дают в сумме 180^{\circ}, поэтому \angle BC_1B_1=180^{\circ}-\angle BCB_1.

Точка B_1 лежит на стороне AC, поэтому \angle BCB_1 — это угол \angle ACB самого треугольника. Точка C_1 лежит на стороне AB, поэтому углы \angle AC_1B_1 и \angle BC_1B_1 смежные: \angle AC_1B_1=180^{\circ}-\angle BC_1B_1=\angle ACB.

Значит, в треугольниках AB_1C_1 и ABC угол A общий, а углы при вершинах C_1 и C равны. По признаку подобия по двум углам треугольник AB_1C_1 подобен треугольнику ABC. Доказано.

Пункт б. Вычислим BC и радиус при \angle A=45^{\circ}, B_1C_1=6.

Обозначим коэффициент подобия k=\dfrac{B_1C_1}{BC}. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: S_{AB_1C_1}=k^2\,S_{ABC}.

По условию площадь четырёхугольника в восемь раз больше площади треугольника AB_1C_1, а вместе они составляют весь треугольник: S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+8S_{AB_1C_1}=9S_{AB_1C_1}.

Отсюда k^2=\dfrac19, то есть k=\dfrac13, и BC=3\cdot B_1C_1=3\cdot 6=18.

Теперь радиус. Здесь удобно поработать с дугами. Точка A лежит вне окружности, а прямые AB и AC — секущие: каждая пересекает окружность в двух точках (C_1 и B; B_1 и C). Для угла между двумя секущими, проведёнными из внешней точки, есть правило: он равен полуразности двух дуг, заключённых между секущими. У нас это дуги BC (дальняя) и B_1C_1 (ближняя).

Обозначим половину дуговой меры так, чтобы сразу пользоваться вписанными углами: пусть вписанный угол, опирающийся на хорду B_1C_1, равен \varphi, а вписанный угол, опирающийся на хорду BC, равен \psi. Тогда дуги равны 2\varphi и 2\psi, и правило о секущих даёт \angle A=\dfrac{2\psi-2\varphi}{2}=\psi-\varphi, то есть \psi=\varphi+45^{\circ}.

Хорда окружности выражается через опирающийся на неё вписанный угол так: хорда =2R\sin(\text{этот угол}). Значит, B_1C_1=2R\sin\varphi и BC=2R\sin\left(\varphi+45^{\circ}\right).

Разделим второе равенство на первое, чтобы избавиться от R: \dfrac{18}{6}=3=\dfrac{\sin\left(\varphi+45^{\circ}\right)}{\sin\varphi}.

Раскроем синус суммы: \sin\left(\varphi+45^{\circ}\right)=\sin\varphi\cos 45^{\circ}+\cos\varphi\sin 45^{\circ}. Поделив на \sin\varphi, получаем \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{ctg}\varphi=3.

Умножим обе части на \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}: 1+\operatorname{ctg}\varphi=3\sqrt{2}, откуда \operatorname{ctg}\varphi=3\sqrt{2}-1.

Из равенства B_1C_1=2R\sin\varphi находим R=\dfrac{6}{2\sin\varphi}=3\cdot\dfrac{1}{\sin\varphi}=3\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2\varphi}.

Подсчитаем: \left(3\sqrt{2}-1\right)^2=18-6\sqrt{2}+1=19-6\sqrt{2}, значит, 1+\operatorname{ctg}^2\varphi=20-6\sqrt{2} и R=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}.

Прикинем величину: 6\sqrt{2}\approx 8{,}49, поэтому R\approx 3\sqrt{11{,}51}\approx 10{,}2. Это больше половины хорды BC, равной 9, — значит, ответ правдоподобен.