Четырехуголь… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00013616

В трапеции $ABCD$ (основания $AD$, $BC$) диагональ $BD$ делит её на равнобедренные треугольники $ABD$ (основание $AD$) и $BCD$ (основание $CD$).

Пункт а. Докажем, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

«Равнобедренный с основанием $AD$» означает, что боковые стороны равны: $AB=BD$. «С основанием $CD$» даёт $BC=BD$. Значит, $AB=BC=BD$.

Так как $BC\parallel AD$, накрест лежащие углы равны: $\angle BCA=\angle CAD$. А треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), поэтому $\angle BCA=\angle BAC$.

Отсюда $\angle BAC=\angle CAD$, то есть $AC$ делит угол $BAD$ пополам — это биссектриса. Доказано.

Пункт б. Найдём $CD$, если $AC=12$, $BD=6{,}5$.

Так как $AB=BC=BD=6{,}5$, поставим координаты: $A=(0;0)$, $D=(L;0)$. Из $AB=BD$ вершина $B$ над серединой $AD$: $B=\left(\dfrac{L}{2};h\right)$, и $BC=6{,}5$ с $BC\parallel AD$ даёт $C=\left(\dfrac{L}{2}+6{,}5;h\right)$.

Условия: $AB^2=\dfrac{L^2}{4}+h^2=6{,}5^2=42{,}25$ и $AC^2=\left(\dfrac{L}{2}+6{,}5\right)^2+h^2=12^2=144$.

Вычтем первое из второго: $\left(\dfrac{L}{2}+6{,}5\right)^2-\dfrac{L^2}{4}=101{,}75$, то есть $6{,}5L+42{,}25=101{,}75$, откуда $L=\dfrac{59{,}5}{6{,}5}\approx 9{,}154$, а $h^2=42{,}25-\dfrac{L^2}{4}$.

Тогда $CD=\sqrt{\left(\dfrac{L}{2}+6{,}5-L\right)^2+h^2}$; подставляя числа, получаем $CD=\sqrt{25}=5$.