ID: 00013623
Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.
Источник: ФИПИ
В трапеции основания равны $4$ и $9$, диагонали равны $5$ и $12$.
Пункт а. Докажем, что диагонали перпендикулярны.
Перенесём диагональ $BD$ параллельно самой себе так, чтобы её начало совпало с концом диагонали $AC$. Образуется треугольник, две стороны которого равны диагоналям ($5$ и $12$), а третья — сумме оснований $4+9=13$ (так как при таком переносе основания складываются вдоль одной прямой).
Проверим этот треугольник: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$. По обратной теореме Пифагора он прямоугольный, причём прямой угол — между сторонами $5$ и $12$, то есть между диагоналями.
Значит, диагонали трапеции перпендикулярны. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь трапеции.
Если диагонали перпендикулярны, площадь четырёхугольника равна половине их произведения: $S=\dfrac{1}{2}d_1 d_2=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$.
30