В трапеции основания равны 4 и 9, диагонали равны 5 и 12.

Пункт а. Докажем, что диагонали перпендикулярны.

Перенесём диагональ BD параллельно самой себе так, чтобы её начало совпало с концом диагонали AC. Образуется треугольник, две стороны которого равны диагоналям (5 и 12), а третья — сумме оснований 4+9=13 (так как при таком переносе основания складываются вдоль одной прямой).

Проверим этот треугольник: 5^2+12^2=25+144=169=13^2. По обратной теореме Пифагора он прямоугольный, причём прямой угол — между сторонами 5 и 12, то есть между диагоналями.

Значит, диагонали трапеции перпендикулярны. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь трапеции.

Если диагонали перпендикулярны, площадь четырёхугольника равна половине их произведения: S=\dfrac{1}{2}d_1 d_2=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30.