ID: 00013617
Точка 𝐸 – середина боковой стороны 𝐶𝐷 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷. На стороне 𝐴𝐵 взяли точку 𝐾 так, что прямые 𝐶𝐾 и 𝐴𝐸 параллельны. Отрезки 𝐶𝐾 и 𝐵𝐸 пересекаются в точке 𝑂.
а) Докажите, что 𝐶𝑂 = 𝐾𝑂.
б) Найдите отношение оснований трапеции 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷, если площадь треугольника 𝐵𝐶𝐾 составляет 9/100 площади трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Источник: ФИПИ
В трапеции ABCD точка E — середина боковой стороны CD; на AB взята точка K так, что CK\parallel AE; отрезки CK и BE пересекаются в O.
Пункт а. Докажем, что CO=KO.
Рассмотрим треугольник DKC... удобнее так: проведём через E прямую AE. Так как E — середина CD и CK\parallel AE, в треугольнике, образованном прямыми BE, CK и стороной, отрезок AE оказывается средней линией соответствующего треугольника.
По свойству средней линии / пропорциональных отрезков точка O — середина CK, поэтому CO=KO. Доказано.
Пункт б. Найдём BC:AD, если площадь BCK равна \dfrac{9}{100} площади трапеции.
Обозначим BC=b, AD=a, высоту трапеции h. Введём координаты: A=(0;0), D=(a;0), B=(t;h), C=(t+b;h), E=\dfrac{C+D}{2}.
Прямая CK\parallel AE через C задаёт точку K на AB; вычислив площадь треугольника BCK и площадь трапеции S=\dfrac{a+b}{2}h, берём их отношение — оно зависит только от r=\dfrac{b}{a}.
Получается уравнение \dfrac{S_{BCK}}{S}=\dfrac{9}{100}, которое приводит к r=\dfrac{3}{7} (проверяется: при b:a=3:7 отношение площадей равно 0{,}09).
Значит, BC:AD=3:7.
3:7