Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013167

Цель — ровно один корень на $[0;1]$. Слева и справа общий множитель $\sqrt{2x-1}$, вынесем его.

$$\sqrt{2x-1}\,\big(\ln(4x-a)-\ln(5x+a)\big)=0.$$

ОДЗ: под корнем неотрицательно ($2x-1\ge0$, то есть $x\ge\dfrac12$ — это сразу отрезает левую половину отрезка!), а оба логарифма существуют ($4x-a\gt 0$, $5x+a\gt 0$). Значит фактически ищем корни на $\left[\dfrac12;1\right]$.

Первый корень — обнуление корня: $\sqrt{2x-1}=0$, то есть $x=\dfrac12$. Он годится, если в этой точке логарифмы определены: $2-a\gt 0$ и $\dfrac52+a\gt 0$, то есть при $-\dfrac52\lt a\lt 2$.

Второй корень — равенство логарифмов $4x-a=5x+a$, откуда $x=-2a$. Он попадает в $\left[\dfrac12;1\right]$ при $\dfrac12\le-2a\le1$, то есть при $-\dfrac12\le a\le-\dfrac14$.

Совпадают корни при $-2a=\dfrac12$, то есть $a=-\dfrac14$. Проходим ось параметра.

• При $-\dfrac52\lt a\lt -\dfrac12$: второй корень требует $a\ge-\dfrac12$, его нет, работает только $x=\dfrac12$ — один корень.

• При $-\dfrac12\le a\lt -\dfrac14$: оба корня на отрезке и различны — два.

• При $a=-\dfrac14$: корни сливаются — снова один.

• При $-\dfrac14\lt a\lt 2$: второй корень $x=-2a\lt \dfrac12$ выходит из рабочей зоны, остаётся $x=\dfrac12$ — один.

• При $a\le-\dfrac52$ или $a\ge2$: $x=\dfrac12$ выпадает из ОДЗ — корней нет.

Собираем: $\left(-\dfrac52;-\dfrac12\right)$ и $\left[-\dfrac14;2\right)$.