Дана правильная треугольная призма ABCA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 , точка M — середина ребра CC индекс 1 . Плоскость альфа проходит через точки B индекс 1 , A и M . а) Докажите, что сечение призмы плоскостью альфа является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью альфа равна 6 и AB равно 2 .

2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .

Задание 14 ЕГЭ по математике: Дана правильная треугольная призма ABCA индекс 1 B индекс 1 C…

№2. Задание 14

ID: 00009066

Дана правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$ , точка $M$ — середина ребра $CC_1$ . Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_1$ , $A$ и $M$ .

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $6$ и $AB = 2$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

В правильной треугольной призме $M$ — середина $CC_1$ . Сечение плоскостью $(B_1AM)$ — треугольник $B_1AM$ .

Покажем равнобедренность: $AB_1=\sqrt{AB^2+AA_1^2}$ и $AM=\sqrt{AC^2+CM^2}$ ; при $CM=\tfrac12 AA_1$ и правильной призме $AB_1=B_1M$ (проверяется по координатам), поэтому треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Площадь треугольника $B_1AM$ равна $6$ при $AB=2$ . Выражая площадь через высоту призмы $H$ и решая уравнение, получаем $H=2\sqrt{11}$ .

Ответ: $2\sqrt{11}$ .

Ответ

$2\sqrt{11}$ .