Global EE

Задание 15 ЕГЭ по математике №00009066

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения призм

№2. Задание 15

ID: 00009066

Дана правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$, точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_1$, $A$ и $M$.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $6$ и $AB = 2$.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

В правильной треугольной призме $M$ — середина $CC_1$. Сечение плоскостью $(B_1AM)$ — треугольник $B_1AM$.

Покажем равнобедренность: $AB_1=\sqrt{AB^2+AA_1^2}$ и $AM=\sqrt{AC^2+CM^2}$; при $CM=\tfrac12 AA_1$ и правильной призме $AB_1=B_1M$ (проверяется по координатам), поэтому треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Площадь треугольника $B_1AM$ равна $6$ при $AB=2$. Выражая площадь через высоту призмы $H$ и решая уравнение, получаем $H=2\sqrt{11}$.

Ответ

$2\sqrt{11}$.

Другие задания по теме «Сечения призм» (8)