ID: 00009066
Дана правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$, точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_1$, $A$ и $M$.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $6$ и $AB = 2$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
В правильной треугольной призме $M$ — середина $CC_1$. Сечение плоскостью $(B_1AM)$ — треугольник $B_1AM$.
Покажем равнобедренность: $AB_1=\sqrt{AB^2+AA_1^2}$ и $AM=\sqrt{AC^2+CM^2}$; при $CM=\tfrac12 AA_1$ и правильной призме $AB_1=B_1M$ (проверяется по координатам), поэтому треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Площадь треугольника $B_1AM$ равна $6$ при $AB=2$. Выражая площадь через высоту призмы $H$ и решая уравнение, получаем $H=2\sqrt{11}$.
$2\sqrt{11}$.