ID: 00009063
В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $AA_1$ и $A_1 B_1$ соответственно. Известно, что $A_1 M = 2 AM$, $A_1 K = K B_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $ABB_1 A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ плоскостью $\alpha$, если все ребра призмы равны $20$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна грани $ABB_1A_1$ и проходит через $M\in AA_1$ и $K$ — середину $A_1B_1$.
Опустим из $C_1$ перпендикуляр на грань $ABB_1A_1$ — его основание лежит на средней линии (так как $\triangle A_1B_1C_1$ правильный, проекция $C_1$ — середина $A_1B_1$, то есть точка $K$). Значит прямая $C_1K\perp ABB_1A_1$, поэтому $C_1$ лежит в плоскости $\alpha$, проходящей через $K$ перпендикулярно этой грани. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(20;0;0)$, $C=(10;17.32;0)$ и соответствующие $A_1,B_1,C_1$ выше на $20$.
Точка $M$ на $AA_1$ ($AM=\tfrac{1}{3}$ ребра при $A_1M=2AM$), $K$ — середина $A_1B_1$, $C_1$ — вершина. Сечение $\alpha$ — треугольник $MKC_1$ (точнее, проходящий через эти точки).
Площадь сечения равна $\dfrac{250\sqrt3}{3}$.
$\dfrac{250\sqrt{3}}{3}$.