ID: 00009025
В основании прямой призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1 B_1$, $B_1 C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1 K : K C_1 = 1 : 2$. Четырёхугольник $AMKN$ – равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $3$.
а) Докажите, что точка $N$ – середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $12$, а высота призмы равна $2$.
Источник: ФИПИ
Работать будем векторами. Обозначим $\vec p=\overrightarrow{AB}$ и $\vec q=\overrightarrow{AD}$ (это стороны параллелограмма-основания), а подъём на верхнюю грань — вектор $\vec h$ (высота призмы, $|\vec h|=2$). Тогда верхние вершины получаются из нижних добавлением $\vec h$.
Распишем отмеченные точки от $A$. Точка $M$ на $A_1B_1$: $\overrightarrow{AM}=m\,\vec p+\vec h$ (доля $m$ вдоль верхнего ребра). Точка $K$ на $B_1C_1$ с $B_1K:KC_1=1:2$: $\overrightarrow{AK}=\vec p+\tfrac13\vec q+\vec h$. Точка $N$ на $BC$: $\overrightarrow{AN}=\vec p+t\,\vec q$.
Пункт а. В трапеции $AMKN$ параллельны основания $MK$ и $AN$. Найдём эти векторы: $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=(1-m)\vec p+\tfrac13\vec q$ и $\overrightarrow{AN}=\vec p+t\,\vec q$.
Параллельность означает, что $\overrightarrow{MK}=\lambda\,\overrightarrow{AN}$ при некотором $\lambda$. Сравнивая коэффициенты при $\vec p$ и $\vec q$: $1-m=\lambda$ и $\tfrac13=\lambda t$. Кроме того, при пропорциональности векторов их длины относятся как $\lambda$, то есть $|MK|:|AN|=\lambda$.
Основания трапеции равны $2$ и $3$, причём меньшее — это $MK$ (его коэффициент при $\vec p$ меньше). Значит $\lambda=\dfrac{|MK|}{|AN|}=\dfrac23$. Тогда из $\tfrac13=\lambda t$ получаем $t=\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac12$, то есть $N$ — середина $BC$, что и требовалось доказать.
Пункт б. Подключаем числа. Объём призмы $12$, высота $2$, поэтому площадь основания $\;|\vec p\times\vec q|=\dfrac{12}{2}=6$.
Из пункта а $m=1-\lambda=\tfrac13$, $t=\tfrac12$. Тогда боковые стороны: $\overrightarrow{AM}=\tfrac13\vec p+\vec h$, $|AM|^2=\tfrac19|\vec p|^2+4$; и $\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AK}=\tfrac16\vec q-\vec h$, $|KN|^2=\tfrac1{36}|\vec q|^2+4$.
Трапеция равнобокая, значит $|AM|=|KN|$, откуда $\tfrac19|\vec p|^2=\tfrac1{36}|\vec q|^2$, то есть $|\vec q|=2|\vec p|$. Обозначим $x=|\vec p|^2$, угол между $\vec p$ и $\vec q$ через $\theta$.
Запишем два известных факта. Площадь основания: $|\vec p||\vec q|\sin\theta=2x\sin\theta=6$, то есть $x\sin\theta=3$. Большее основание: $|AN|^2=|\vec p|^2+2(\vec p\cdot\vec q)+\tfrac14|\vec q|^2=x+2x\cos\theta+x=2x(1+\cos\theta)=9$.
Поделим одно на другое: $\dfrac{x\sin\theta}{x(1+\cos\theta)}=\dfrac{3}{4{,}5}=\dfrac23$. Левая часть — это $\operatorname{tg}\dfrac\theta2$, значит $\operatorname{tg}\dfrac\theta2=\dfrac23$, откуда $\cos\theta=\dfrac{1-4/9}{1+4/9}=\dfrac{5}{13}$ и $\sin\theta=\dfrac{12}{13}$.
Тогда $x=\dfrac{3}{\sin\theta}=\dfrac{3}{12/13}=\dfrac{13}{4}$. Боковая сторона: $|AM|^2=\tfrac19\cdot\tfrac{13}{4}+4=\dfrac{13}{36}+\dfrac{144}{36}=\dfrac{157}{36}$, то есть $|AM|=\dfrac{\sqrt{157}}{6}$.
Высота трапеции (основания $2$ и $3$, боковая $|AM|$): $h_{\text{тр}}=\sqrt{|AM|^2-\left(\dfrac{3-2}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{157}{36}-\dfrac14}=\sqrt{\dfrac{148}{36}}=\dfrac{\sqrt{37}}{3}$.
Площадь $S=\dfrac{2+3}{2}\cdot h_{\text{тр}}=\dfrac52\cdot\dfrac{\sqrt{37}}{3}=\dfrac{5\sqrt{37}}{6}$.
$\dfrac{5\sqrt{37}}{6}$.