Геометрия 10 класс онлайн у нас идёт по воскресеньям в 17:00 по Москве в составе курса профильной математики Адиля Бурумбаева: в воскресенье геометрия всегда, весь год. Для десятиклассника это главный год стереометрии: в учебнике она только начинается, а в курсе уже сейчас разбираются призма, пирамида, тела вращения и сечения. Дальше программа воскресений по месяцам, суть темы про прямые и плоскости, ошибки и шпаргалка построения сечения.
Воскресная геометрия по месяцам
Планиметрия и стереометрия в курсе идут рядом, потому что в профильном ЕГЭ они составляют целый блок заданий: три номера первой части и две задачи второй. Осенью они чередуются по воскресеньям, весной стереометрия получает весь март и апрель.
Август (прошёл)
- Воскресные темы
- треугольники, четырёхугольники, окружность с нуля до ЕГЭ
Сентябрь
- Воскресные темы
- треугольник, параллелограмм, трапеция, окружность, векторы, призма и пирамида
Октябрь
- Воскресные темы
- тела вращения, все типы заданий первой части по банку ФИПИ, теорема синусов и косинусов
Ноябрь
- Воскресные темы
- площади, углы в окружностях и касание окружности и прямой, свойства касательных и хорд, многоугольники
Декабрь
- Воскресные темы
- сечения, призма, пирамида, тела вращения
Январь
- Воскресные темы
- второй круг: треугольники, параллелограмм, трапеция; открытое занятие «вся геометрия первой части»
Февраль
- Воскресные темы
- описанная и вписанная окружности; открытое занятие «вся стереометрия с нуля»
Март
- Воскресные темы
- прямоугольный параллелепипед, призма, треугольная пирамида
Апрель
- Воскресные темы
- пирамиды: треугольная, четырёхугольная, многоугольная; тела вращения
Май
- Воскресные темы
- базовая планиметрия, векторы, простейшая стереометрия
Суть простыми словами: прямые и плоскости
Стереометрия начинается с трёх правил. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость. Если две точки прямой лежат в плоскости, то в ней лежит и вся прямая. Если две плоскости пересекаются, то по прямой. Из этих правил вырастает всё остальное, в том числе построение сечений.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, а не любой наклонной. Угол между прямой и плоскостью измеряют между самой прямой и её проекцией на плоскость.
Две формулы объёма нужно помнить всегда: у призмы V = S · h, у пирамиды V = ⅓ · S · h, где S — площадь основания, а h — высота. У куба с ребром a диагональ равна a√3.
Задача. Диагональ куба равна 4√3. Найди его ребро и объём.
- Диагональ куба d = a√3, поэтому a = 4.
- Объём куба V = a³ = 64.
- Ответ: ребро 4, объём 64.
Проверка. Если взять ребро 4, диагональ грани равна 4√2, а диагональ куба по Пифагору √(4² + (4√2)²) = √48 = 4√3. Сходится.
Где ошибаются
- Забывают ⅓ в объёме пирамиды. Призма и пирамида на одном основании и с одной высотой различаются втрое.
- Путают угол между прямой и плоскостью с углом между прямыми. Нужна проекция на плоскость, иначе угол получится другим.
- Строят сечение «на глаз». Любая линия сечения должна лежать в плоскости грани, и каждую нужно получить из правил выше.
- Берут любую наклонную как расстояние. Расстояние — только перпендикуляр.
Шпаргалка за 30 секунд: как построить сечение
- Отметь точки, через которые проходит плоскость, и посмотри, какие из них лежат в одной грани.
- Соедини точки, лежащие в одной грани: каждая такая линия — сторона сечения.
- Если точки в разных гранях, найди след. Возьми две точки сечения в боковой грани, продли прямую через них до пересечения с прямой, на которой лежит ребро основания этой грани. Две такие точки в плоскости основания задают прямую — след секущей плоскости.
- Там, где след пересекает рёбра или их продолжения, получай новые точки сечения и соединяй их в гранях, пока многоугольник не замкнётся.
- Проверь: каждая сторона лежит в своей грани, нет сторон «через пустоту».
Что дальше
Сначала можно тренироваться на геометрии, которая уже есть в наглядных тренажёрах: окружность: вписанные углы, хорды, касательные, треугольник в руках и площади фигур. Темы стереометрии собраны на странице многогранники ЕГЭ профиль и тела вращения ЕГЭ профиль. После этого пробное покажет, насколько уверенно стоят основы.