Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00051913

Дано:

$p_1 = p_0$

$p_2 = 2p_0$

$p_3 = 2p_0$

$V_1 = V_0$

$V_2 = V_0$

$V_3 = 2V_0$

Найти:

$\eta$ — ?

КПД цикла:

$\eta = \dfrac{A_{ц}}{Q_{н}}$,

где $A_{ц}$ — работа газа за цикл, $Q_{н}$ — суммарное количество теплоты, полученное газом на участках подвода теплоты.

Работа за цикл.

Цикл обходится по часовой стрелке, поэтому работа газа за цикл положительна и численно равна площади треугольника внутри цикла:

$A_{ц} = \dfrac{1}{2}(2p_0 - p_0)(2V_0 - V_0) = \dfrac{p_0V_0}{2}$.

Определим участки подвода теплоты.

По первому началу термодинамики:

$Q = \Delta U + A$.

Для одноатомного идеального газа:

$\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$.

По уравнению Менделеева — Клапейрона:

$pV = \nu RT$.

Следовательно:

$\Delta U = \dfrac{3}{2}(p_{кон}V_{кон} - p_{нач}V_{нач})$.

Процесс 1–2.

Объём постоянен, поэтому работа газа равна нулю:

$A_{12} = 0$.

Давление и температура увеличиваются, газ получает теплоту:

$Q_{12} = \Delta U_{12} = \dfrac{3}{2}(2p_0V_0 - p_0V_0) = \dfrac{3}{2}p_0V_0 > 0$.

Процесс 2–3.

Газ изобарно расширяется. Его работа:

$A_{23} = 2p_0(2V_0 - V_0) = 2p_0V_0$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{23} = \dfrac{3}{2}(2p_0 \cdot 2V_0 - 2p_0V_0) = 3p_0V_0$.

Количество полученной теплоты:

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 3p_0V_0 + 2p_0V_0 = 5p_0V_0 > 0$.

Процесс 3–1.

Давление и объём уменьшаются, поэтому произведение $pV$ уменьшается. Следовательно, температура и внутренняя энергия газа уменьшаются:

$\Delta U_{31} < 0$.

Газ сжимается, поэтому его работа отрицательна:

$A_{31} < 0$.

Значит, на всём участке 3–1 газ отдаёт теплоту:

$Q_{31} = \Delta U_{31} + A_{31} < 0$.

Таким образом, теплота подводится к газу только на участках 1–2 и 2–3:

$Q_{н} = Q_{12} + Q_{23} = \dfrac{3}{2}p_0V_0 + 5p_0V_0 = \dfrac{13}{2}p_0V_0$.

КПД цикла:

$\eta = \dfrac{A_{ц}}{Q_{н}} = \dfrac{p_0V_0/2}{13p_0V_0/2} = \dfrac{1}{13} \approx 0{,}0769$.

В процентах:

$\eta \approx 7{,}7$ %.