Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048231

Что тут происходит. В закрытой коробке, которая не пропускает тепло и не может менять объём, качается пружинный маятник и находится немного газа. Газ тормозит груз (это и есть сила вязкого трения), колебания постепенно затухают, а их энергия переходит в газ. Нужно найти, насколько газ нагреется к моменту, когда груз остановится.

Дано: $\nu=0{,}1\ \text{моль}$, $m=4\ \text{кг}$, $\upsilon_{\max}=1{,}5\ \text{м/с}$, $R=8{,}31\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$. Найти: $\Delta T$.

Шаг 1 — энергия колебаний. При колебаниях механическая энергия маятника переходит из кинетической в потенциальную и обратно. Когда груз проходит положение равновесия, его скорость максимальна, а вся энергия колебаний — кинетическая:

$$E=\dfrac{m\upsilon_{\max}^2}{2}=\dfrac{4\cdot1{,}5^2}{2}=\dfrac{4\cdot2{,}25}{2}=4{,}5\ \text{Дж}.$$

Колебания прекращаются, и груз останавливается в положении равновесия, поэтому именно эти $4{,}5$ Дж механической энергии превращаются во внутреннюю.

Шаг 2 — первый закон термодинамики для газа. Сосуд теплоизолирован — тепло наружу не уходит. Стенки жёсткие — объём газа не меняется, и газ работы не совершает. По условию нагревается только газ. Значит, вся энергия колебаний идёт на увеличение внутренней энергии газа: $\Delta U=E$.

Шаг 3 — внутренняя энергия одноатомного газа: $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, поэтому $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$. Приравниваем:

$$\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T=\dfrac{m\upsilon_{\max}^2}{2}\quad\Rightarrow\quad\Delta T=\dfrac{m\upsilon_{\max}^2}{3\nu R}=\dfrac{9}{3\cdot0{,}1\cdot8{,}31}=\dfrac{9}{2{,}493}\approx3{,}61\ \text{К}.$$

Округляем до десятых: $\Delta T\approx3{,}6$ К. Изменение температуры в кельвинах и в градусах Цельсия одинаково, так что газ нагреется на $3{,}6$ градуса.

Проверим себя обратным ходом: $\dfrac{3}{2}\cdot0{,}1\cdot8{,}31\cdot3{,}61=1{,}2465\cdot3{,}61\approx4{,}5$ Дж — ровно энергия колебаний. Сходится.