Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048215

Что тут происходит. Машина берёт теплоту у горячей воды, часть её превращает в работу, а остаток сбрасывает в холодильник — сосуд со льдом. Сброшенная теплота растапливает лёд, поэтому по массе растаявшего льда мы знаем, сколько теплоты ушло в холодильник. «Максимально возможный КПД» — это КПД идеальной машины, работающей по циклу Карно. У неё теплоты, полученная и отданная, относятся так же, как абсолютные температуры нагревателя и холодильника. Отсюда найдём теплоту от нагревателя, а разность теплот и есть работа.

Дано: $t_{\text{н}}=80\,^\circ\text{C}$, $t_{\text{х}}=0\,^\circ\text{C}$, $m=12$ кг. Справочные данные: удельная теплота плавления льда $\lambda=3{,}3\cdot10^{5}$ Дж/кг. Найти: работу $A$.

Модель. Нагреватель — большой резервуар, его температура за время работы не меняется. Холодильник — смесь льда и воды: пока лёд тает, температура смеси остаётся $0\,^\circ\text{C}$. Значит, всё время машина работает между двумя постоянными температурами, как цикл Карно.

Шаг 1 — температуры по шкале Кельвина: $T_{\text{н}}=80+273=353$ К, $T_{\text{х}}=0+273=273$ К. Брать $0$ вместо $273$ нельзя: формула Карно дала бы КПД, равный единице, — машину, превращающую в работу всю теплоту, что невозможно.

Шаг 2 — теплота, отданная холодильнику. Она целиком ушла на плавление льда:

$$Q_{\text{х}}=\lambda m=3{,}3\cdot10^{5}\cdot12=3{,}96\cdot10^{6}\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — теплота от нагревателя. Для цикла Карно $\dfrac{Q_{\text{н}}}{Q_{\text{х}}}=\dfrac{T_{\text{н}}}{T_{\text{х}}}$, поэтому

$$Q_{\text{н}}=Q_{\text{х}}\dfrac{T_{\text{н}}}{T_{\text{х}}}=3{,}96\cdot10^{6}\cdot\dfrac{353}{273}\approx5{,}12\cdot10^{6}\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — работа. По закону сохранения энергии машина отдаёт в виде работы то, что получила от нагревателя, за вычетом сброшенного в холодильник:

$$A=Q_{\text{н}}-Q_{\text{х}}=\lambda m\,\dfrac{T_{\text{н}}-T_{\text{х}}}{T_{\text{х}}}=3{,}96\cdot10^{6}\cdot\dfrac{80}{273}\approx1{,}16\cdot10^{6}\ \text{Дж}.$$

Проверим себя. КПД машины $\dfrac{A}{Q_{\text{н}}}=\dfrac{1{,}16}{5{,}12}\approx0{,}227$, а по формуле Карно $1-\dfrac{273}{353}\approx0{,}227$ — совпало. И по смыслу: нагреватель горячее холодильника лишь на $80$ градусов при абсолютных температурах около $300$ К, поэтому даже идеальная машина превращает в работу меньше четверти теплоты, и работа заметно меньше теплоты, растопившей лёд.