Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048214

Что тут происходит. В сосуд к одной порции гелия добавили другую, с другой температурой. Атомы перемешиваются, обмениваются энергией, и устанавливается общая температура и общее давление. Сосуд жёсткий и теплоизолированный, поэтому внутренняя энергия всего гелия не меняется: она равна сумме энергий двух порций. А у одноатомного газа давление прямо связано с внутренней энергией и объёмом — поэтому температуру смеси можно даже не вычислять.

Дано: $V=50$ л $=0{,}05\ \text{м}^3$, $\nu_1=1$ моль, $v_1=1400$ м/с, $\nu_2=0{,}8$ моль, $T_2=330$ К; молярная масса гелия $M=0{,}004$ кг/моль. Найти: $p$.

Модель. Гелий — одноатомный идеальный газ: его внутренняя энергия — это только кинетическая энергия поступательного движения атомов, $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$.

Шаг 1 — энергия первой порции прямо по скорости. Кинетическая энергия всех атомов порции — это половина произведения её массы на квадрат среднеквадратичной скорости; масса порции $\nu_1M=0{,}004$ кг:

$$U_1=\dfrac{\nu_1Mv_1^2}{2}=\dfrac{0{,}004\cdot1400^2}{2}=3920\ \text{Дж}.$$

Шаг 2 — энергия второй порции:

$$U_2=\dfrac{3}{2}\nu_2RT_2=1{,}5\cdot0{,}8\cdot8{,}31\cdot330\approx3291\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — сохранение энергии. Стенки жёсткие ($A=0$), теплообмена нет ($Q=0$), поэтому по первому закону термодинамики энергия смеси $U=U_1+U_2\approx7211$ Дж.

Шаг 4 — давление. Для всего гелия $U=\dfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT$ и $pV=(\nu_1+\nu_2)RT$, значит, $U=\dfrac{3}{2}pV$:

$$p=\dfrac{2U}{3V}=\dfrac{2\cdot7211}{3\cdot0{,}05}=\dfrac{14\,422}{0{,}15}\approx9{,}6\cdot10^{4}\ \text{Па}=96\ \text{кПа}.$$

Проверим себя другим путём. Температура первой порции $T_1=\dfrac{Mv_1^2}{3R}=\dfrac{7840}{24{,}93}\approx314{,}5$ К, температура смеси $T=\dfrac{1\cdot314{,}5+0{,}8\cdot330}{1{,}8}\approx321{,}4$ К. По уравнению Менделеева–Клапейрона $p=\dfrac{1{,}8\cdot8{,}31\cdot321{,}4}{0{,}05}\approx9{,}6\cdot10^{4}$ Па — то же самое.