Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00048213

Что тут происходит. В сосуде смешиваются две порции гелия с разными температурами. Атомы сталкиваются, обмениваются энергией, и в конце у всего гелия устанавливается одна общая температура. Сосуд жёсткий и теплоизолированный — энергия гелия никуда не уходит и ниоткуда не берётся. Поэтому внутренняя энергия смеси равна сумме внутренних энергий порций. Температуру первой порции нам дали не прямо, а через скорость атомов — её придётся перевести.

Дано: $\nu_1=1$ моль, $v_1=1400$ м/с, $\nu_2=0{,}8$ моль, $T_2=350$ К; молярная масса гелия $M=0{,}004$ кг/моль. Найти: $T_3$.

Модель. Гелий — одноатомный газ, при таких условиях его можно считать идеальным. Внутренняя энергия такого газа — это только кинетическая энергия поступательного движения атомов: $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$.

Шаг 1 — температура первой порции. Средняя кинетическая энергия атома $\dfrac{m_0v^2}{2}=\dfrac{3}{2}kT$, где $v$ — среднеквадратичная скорость. Умножив обе части на число Авогадро, получим $Mv^2=3RT$, откуда

$$T_1=\dfrac{Mv_1^2}{3R}=\dfrac{0{,}004\cdot1400^2}{3\cdot8{,}31}=\dfrac{7840}{24{,}93}\approx314{,}5\ \text{К}.$$

Шаг 2 — сохранение внутренней энергии. Стенки жёсткие — работы нет ($A=0$); сосуд теплоизолирован — теплообмена нет ($Q=0$). По первому закону термодинамики внутренняя энергия гелия не меняется:

$$\dfrac{3}{2}\nu_1RT_1+\dfrac{3}{2}\nu_2RT_2=\dfrac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT_3.$$

Шаг 3 — сокращаем $\dfrac{3}{2}R$ и выражаем $T_3$:

$$T_3=\dfrac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}=\dfrac{1\cdot314{,}5+0{,}8\cdot350}{1{,}8}=\dfrac{594{,}5}{1{,}8}\approx330\ \text{К}.$$

Проверим себя. Конечная температура легла между $314{,}5$ и $350$ К и ближе к температуре первой порции — так и должно быть: гелия в первой порции больше ($1$ моль против $0{,}8$). Первая порция нагрелась примерно на $16$ К, вторая остыла примерно на $20$ К: $1\cdot16\approx0{,}8\cdot20$ — сколько энергии одна получила, столько другая отдала.