Электростатика — Задание 21 ЕГЭ по физике №00043145

Сначала разберёмся, что происходит. Воздушный конденсатор зарядили от источника, а потом отключили — теперь он ни с чем не соединён. После этого всё пространство между пластинами заполнили диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon=2{,}5$. Нужно узнать, во сколько раз изменилась энергия поля в конденсаторе.

Шаг 1 — что не меняется. Конденсатор изолирован: пластины не соединены ни с источником, ни друг с другом, поэтому зарядам некуда уйти и неоткуда прийти. По закону сохранения электрического заряда заряд пластин остаётся прежним: $q=\text{const}$. Напряжение же меняться может — источника, который бы его поддерживал, больше нет.

Шаг 2 — как меняется ёмкость. Ёмкость плоского конденсатора $$C=\frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d},$$ где $S$ — площадь пластин, $d$ — расстояние между ними. Пластины те же и стоят там же, меняется только $\varepsilon$: было $1$ (воздух), стало $2{,}5$. Значит, ёмкость выросла в $2{,}5$ раза: $C_2=2{,}5\,C_1$.

Шаг 3 — выбираем формулу энергии. У энергии конденсатора есть три равноценные записи: $\dfrac{CU^2}{2}$, $\dfrac{qU}{2}$ и $\dfrac{q^2}{2C}$. Удобнее та, где стоит неизменный заряд и нет меняющегося напряжения: $$W=\frac{q^2}{2C}.$$

Шаг 4 — считаем отношение. Заряд тот же, ёмкость выросла в $2{,}5$ раза: $$\frac{W_2}{W_1}=\frac{q^2/(2C_2)}{q^2/(2C_1)}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{1}{2{,}5}.$$ Энергия поля уменьшилась в $2{,}5$ раза.

Проверим себя через поле. Диэлектрик поляризуется: его молекулы создают своё поле навстречу полю пластин, и при том же заряде напряжённость внутри ослабевает в $\varepsilon$ раз. Плотность энергии поля $\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0E^2}{2}$: квадрат напряжённости уменьшился в $2{,}5^2=6{,}25$ раза, а множитель $\varepsilon$ вырос в $2{,}5$ раза, объём между пластинами прежний — итого $\dfrac{2{,}5}{6{,}25}=\dfrac{1}{2{,}5}$. Тот же ответ.

И куда делась энергия? Диэлектрик втягивается в заряженный конденсатор: поле совершает над ним положительную работу, и на это уходит часть энергии поля. Поэтому уменьшение энергии и физически ожидаемо. Если бы конденсатор оставался подключённым к источнику, постоянным было бы напряжение, и ответ был бы другим — здесь важно, что его отключили.