Электростатика — Задание 21 ЕГЭ по физике №00043134

Сначала разберёмся, что тут происходит. Шарик на длинной нити — это маятник. Пока шарик не заряжен, огромная пластина под ним на него не действует: электрическое поле действует только на заряженные тела. Значит, сначала шарик качается как самый обычный маятник, и к нижней точке его возвращает только сила тяжести. Потом шарику сообщают положительный заряд, а пластина заряжена отрицательно — появляется ещё одна сила, и нам надо понять, как она скажется на периоде.

Шаг 1 — период до зарядки. Маленький шарик на длинной нити при малых отклонениях можно считать математическим маятником, а для него период равен $$T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},$$ где $l$ — длина нити, $g$ — ускорение свободного падения. Видно, что период зависит только от длины нити и от того, насколько сильно шарик тянет вниз.

Шаг 2 — какое поле создаёт пластина. Размеры пластины во много раз больше длины нити, поэтому рядом с шариком её можно считать бесконечной плоскостью. Поле равномерно заряженной плоскости однородное: напряжённость $\vec E$ одинакова во всех точках, где бывает шарик, и направлена перпендикулярно пластине. У отрицательно заряженной пластины линии напряжённости входят в неё, то есть над пластиной вектор $\vec E$ смотрит вертикально вниз.

Шаг 3 — сила, действующая на заряженный шарик. На заряд $q$ в электрическом поле действует сила $$\vec F=q\vec E.$$ Заряд шарика положительный, поэтому сила направлена так же, как $\vec E$, — вертикально вниз. Проще говоря, разноимённые заряды притягиваются, и шарик тянется к пластине. Модуль этой силы $F=qE$ не меняется, пока шарик качается: поле однородное, значит, в любой точке размаха сила одна и та же.

Шаг 4 — что изменилось для колебаний. Теперь вниз шарик тянут две постоянные силы: тяжесть $mg$ и электрическая сила $qE$. Вместе они работают как одна «усиленная» сила тяжести $mg'$. По второму закону Ньютона такая сила сообщала бы шарику ускорение $$g'=g+\frac{qE}{m}\gt g.$$ Это похоже на маятник в лифте, который разгоняется вверх: всё, что возвращает шарик к положению равновесия, стало сильнее, и шарик быстрее возвращается назад.

Шаг 5 — новый период. Формула периода та же, только вместо $g$ теперь стоит $g'$: $$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g+\dfrac{qE}{m}}}.$$ Длина нити не изменилась, а знаменатель под корнем вырос. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь, поэтому $T\lt T_0$ — период малых колебаний уменьшится.

Проверим себя предельным случаем. Если заряд шарика сделать совсем маленьким, добавка $\dfrac{qE}{m}$ станет почти нулевой, и период вернётся к $T_0$ — так и должно быть для незаряженного маятника. А чем больше заряд, тем сильнее шарик притягивается к пластине и тем чаще он качается.